Инженерная олимпиада 2025, 11 класс, задача 6
Кривошипно-кулисный механизм представляет собой стержень длиной м, который может вращаться вокруг точки (этот стержень называется «кривошип»), и шарнирно связанный с ним стержень, который может свободно двигаться в маленькой поворотной втулке (этот стержень называется «кулиса»). Известно, что расстояние . Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью с. Найти величину и направление вектора мгновенного ускорения той точки кулисы, которая находится внутри втулки , когда .
Решение.
Поскольку точка принадлежит кривошипу, ее скорость в любой момент направлена перпендикулярно кривошипу (см. рисунок) и равна по величине , а угол между этим вектором и стержнем в тот момент времени, когда угол между кривошипом и горизонтом равен , равен . Точка кривошипа, которая находится внутри втулки, может двигаться только вдоль втулки, т.е. вдоль стержня. Из условия нерастяжимости стержня (проекции скоростей всех его точек на сам стержень должны быть равны) получаем для скорости точки стержня, которая находится внутри втулки
С изменением угла поворота кривошипа величина этой скорости меняется, что приводит к появлению составляющей ускорения, параллельной скорости . Величину этой составляющей найдем, дифференцируя по времени
Кроме того, из-за поворота кулисы скорость точки кулисы, находящейся внутри втулки, меняется по направлению, что приводит к появлению составляющей ускорения, перпендикулярной скорости . Чтобы найти величину этой составляющей заметим, что угол между кулисой и горизонтальной прямой, проходящей через втулку, составляет (см. рисунок). И потому при повороте кривошипа за малое время на угол изменяется на угол . Поэтому изменение скорости, перпендикулярное самой скорости, в тот момент времени, когда угол между кривошипом и горизонталью (см. рисунок) равен за малое время , есть
Деля это выражение на и учитывая, что , найдем
Из этих формул следует, что модуль вектора ускорения рассматриваемой точки кулисы не зависит от угла наклона кулисы, поскольку
А направлен вектор ускорения этой точки под таким углом к кулисе, что
Правильно найдена скорость рассматриваемой точки
Правильно найдена тангенциальная составляющая ускорения рассматриваемой точки
Правильно найдена составляющая изменения скорости рассматриваемой точки, перпендикулярная самой скорости
Правильно найдена величина ускорения рассматриваемой точки
Правильно найдено направление вектора ускорения рассматриваемой точки