Инженерная олимпиада 2020, 11 класс, задача 6
Из четырех стержней , , и , имеющих попарно равные длины ( и , причем ) сделан параллелограмм , соединив стержни шарнирами (см. рисунок). Вершину параллелограмма закрепили шарнирно и начали вращать стороны и в противоположные стороны с одинаковой угловой скоростью . При каком угле скорость точки направлена вдоль отрезка ?
Ответ
Решение. Рассмотрим движение стержней и . Так как точка принадлежит и стержню , который только вращается, ее скорость направлена перпендикулярно отрезку . Точка принадлежит и стержню , поэтому ее скорость направлена перпендикулярно этому стержню, а по величине вдвое больше скорости точки (так как угловые скорости стержней и одинаковы, а длина стержня вдвое больше длины стержня ). Поэтому скорости точек и направлены так, как показано на рисунке (), и отличаются в два раза по величине.
Из условия несжимаемости стержней и имеем, что проекции скоростей концов стержня на сам стержень равны друг другу в любой момент времени. Поэтому для скорости точки имеем (при условии, что вектор скорости направлен вдоль стержня ):
Деля уравнения друг на друга, получим