Инженерная олимпиада 2023, 9 класс, задача 5
На горизонтальной доске вертикально установили стержень, в верхнюю часть которого вбили гвоздь. На некотором расстоянии от гвоздя в доску вбили крючок. К крючку привязали конец нерастяжимой нити, которую затем намотали на гвоздь так, что участок нити от крючка до гвоздя натянут. Второй конец веревки начали тянуть в горизонтальном направлении с увеличивающейся силой. Какая часть нити - до стержня или между стержнем и доской - порвется первой? При каком значении силы порвется нить, если она выдерживает максимальную силу натяжения ? Расстояние от крючка до стержня вдвое меньше длины стержня. Нижний конец стержня не может скользить по доске.
Ответ
Поскольку участок нити от крючка до гвоздя до крючка натянут, а нить нерастяжима, при натягивании нити стержень будет оставаться вертикальным. Но чтобы стержень оставался вертикальным, сумма горизонтальных проекции сил натяжения, действующих на его конец, должна равняться нулю. Отсюда получаем (см. рисунок)
где - сила натяжения горизонтального участка нити (равная внешней силе ), - сила натяжения участка нити от крючка до гвоздя, - угол наклона этого участка нити к горизонту (поскольку нить намотана на гвоздь, силы натяжения этих участков нити не обязаны быть одинаковыми). Отсюда следует, что , и, следовательно, при натягивании горизонтального участка нити, ее наклонный участок натягивается сильнее и быстрее достигнет предельно допустимой силы, которую выдерживает нить. Поэтому наклонный участок нити порвется первым.
Если нить выдерживает максимальную силу натяжения , то наклонный участок нити порвется, когда к горизонтальному участку нити будет приложена внешняя сила
Поскольку расстояние от крючка до стержня вдвое меньше длины стержня, то длина наклонного участка нити равна
где - расстояние от крючка до стержня. Поэтому
В результате получаем окончательно значение силы, при которой порвется нить