Инженерная олимпиада 2020, 9-10 класс, задача 6
Два длинных стержня вращаются с постоянными угловыми скоростями вокруг параллельных осей, проходящих через их концы и (см. рисунок). Расстояние между осями , в начальный момент левый стержень направлен вправо, правый - вертикально вверх. По какой траектории движется точка пересечения стержней? Найти скорость и ускорение этой точки через время после начала движения. Ответ обосновать.
Поскольку стержни вращаются с одинаковой угловой скоростью, то угол, который составляет правый стержень с вертикалью и левый с горизонталью, равны в любой момент времени (см. рисунок; этот угол обозначен как ). А поскольку угол - прямой, то угол равен . Отсюда следует, что угол - прямой в любой момент времени.
Таким образом, точка движется так, что треугольник - прямоугольный. Поэтому она движется по окружности, у которой отрезок является диаметром. Следовательно, центр этой окружности находится в середине отрезка (на рисунке он обозначен как ) и в тот момент когда угол между правым стержнем и вертикалью и левый стержнем и горизонталью равен угол равен (это легко доказать, используя факт равнобедренности треугольника ).
Поэтому точка пересечения стержней движется с постоянной угловой скоростью . И, следовательно, величина скорости этой точки в любой момент времени равна
Поскольку точка пересечения стержней движется равномерно, ее ускорение - центростремительное, и в любой момент времени определяется соотношением
Итак, точка пересечения стержней движется по окружности радиуса с центром в середине отрезка . Ее скорость и ускорение в любой момент времени (и, следовательно, в тот, о котором говорится в условии) определяются формулами (*) и (**) соответственно.
Доказательство, что угол между стержнями - прямой в любой момент времени
Доказательство, что точка пересечения стержней движется по окружности с центром посередине между осями их вращения
Правильно найдена угловая скорость точки пересечения стержней
Правильно найдено ускорение точки пересечения стержней