Росатом 2022, Отбор, 10 класс, задача 1, 11 класс, задача 1
Болота и связаны протокой. Вода в протоке течет из в со скоростью . В болотах живут две разные популяции лягушек, которые в какой-то момент решили поменяться болотами («везде хорошо, где нас нет!»). Для этого через интервалы времени одновременно из в и из в отправляются в путешествие по одной лягушке соответствующих популяций. Скорость всех лягушек относительно воды постоянна и равна . Сколько лягушек встречает на своем пути любая лягушка, плывущая из в ? Длина протоки .
Решение.
Рассмотрим лягушку, которая стартовала из болота в некоторый момент времени. Очевидно, она встретит на своем пути всех лягушек, плывущих из болота в болото , которые к этому моменту не успели доплыть до болота , и всех тех, которые стартуют из болота , пока она не успела туда приплыть. А поскольку любая лягушка, плывущая из болота , тратит на переход время
а лягушка, плывущая из в , тратит на переход время
то рассматриваемая лягушка встретит всех лягушек, которые стартовали из в в течение интервала времени
А поскольку лягушки стартуют через интервалы времени , то за это время успеют стартовать
( - целая часть числа) лягушек. Именно столько лягушек встречает на своем пути любая лягушка, плывущая из в .
Правильное использование формулы «расстояние-время-скорость»
Правильная идея решения - лягушка, плывущая из в встретит всех лягушек, которые не успели к моменту ее старта доплыть до и стартовали до ее финиша в болоте
Правильно найдены времена движения лягушек из в , и из в
Правильный ответ