ВсОШ 2025, Муницип, 10 класс, задачи 18–21
Два одинаковых маленьких комка сырой глины бросают одновременно с одинаковыми по модулю начальными скоростями . Первый бросают горизонтально с башни высотой , второй — с поверхности земли из точки, находящейся на расстоянии от основания башни, под углом к горизонту (см. рис.). Ускорение свободного падения . Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
1. Под каким углом необходимо бросать второй комок глины, чтобы комки могли столкнуться в воздухе? Ответ выразите в градусах и округлите до целого числа.
2. При каком минимальном значении скорости столкновение комков в воздухе возможно? Ответ выразите в м/с и округлите до целого числа.
3. На каком расстоянии от точки бросания второго комка произойдёт столкновение комков (при бросании второго под необходимым углом ) при ? Ответ выразите в м и округлите до целого числа.
4. С какой скоростью упадёт на землю кусок глины, образовавшийся в результате слипания двух комков при соударении в воздухе, если ? Ответ выразите в м/с и округлите до целого числа.
Ответ.
1. .
2. .
3. .
4. .
Решение.
1. Перейдём в систему отсчёта, в которой первый комок покоится. В этой системе отсчёта второй комок будет двигаться равномерно и прямолинейно, поскольку в неподвижной системе отсчёта их ускорения одинаковы. Горизонтальная составляющая скорости второго комка в этой системе отсчёта: , вертикальная — . Для столкновения эта скорость должна быть направлена в точку, где находится первый комок. Отсюда
2. Найдём время , через которое произойдёт столкновение:
Столкновение должно произойти на неотрицательной высоте в системе отсчёта земли. Следовательно,
3. Для того чтобы комки могли столкнуться, бросаем второй под углом (из первого пункта). Тогда
4. Найдём скорости комков в момент перед столкновением (ось направлена вертикально вниз, — вправо):
Запишем закон сохранения импульса в момент удара:
Закон сохранения механической энергии для слипшегося куска:
Ответ к этому пункту можно получить, применив теорему о движении центра масс. Центр масс системы из двух комков будет двигаться по параболе под действием силы тяжести. При столкновении комков между ними возникнут лишь внутренние силы, которые не оказывают влияния на движение центра масс. Изначально центр масс системы находится на высоте и движется со скоростью . Запишем закон сохранения механической энергии для материальной точки с массой, равной массе двух комков, при её движении по параболе от начальной точки до конечной, находящейся на поверхности земли. По теореме о движении центра масс, он будет двигаться так же, как эта материальная точка.
Отсюда скорость в момент падения слипшихся комков, совпадающая со скоростью центра масс, составит:
Максимальный балл за задачу