Инженерная олимпиада 2020, 9-10 класс, задача 2
Из U-образной трубки изготовили водяной манометр. Площади сечения колен трубки относятся как . Площади колен которой относятся как , изготавливают манометр, заполняя ее ртутью. К какому колену манометра - узкому или широкому - следует прикрепить шкалу (см. рисунок), чтобы точность измерений давления была выше? С какой относительной погрешностью позволит манометр измерить давление с помощью шкалы, прикрепленной к широкому колену, если при прикреплении шкалы к узкому колену манометра относительная погрешность измерения этого давления составляет ?
Абсолютная точность измерения давления с помощью манометра определяется ценой деления шкалы. Найдем цену деления в случае, когда шкала прикреплена к широкому и узкому колену манометра (левый и правый рисунки в условии).
Пусть измеряемое давление и объем, в котором измеряется давление, подсоединен к узкому колену манометра, а шкала присоединена к широкому (левый рисунок в условии). Разность уровней воды в широком и узком коленах составляет
При этом условие равенства объемов воды дает
где , - величины изменения уровня воды в узком и широком коленах, , - площади сечения узкого и широкого колен сосуда. Отсюда находим
Если цена деления шкалы (в единицах длины) равна , то абсолютная погрешность измерения давления пропорциональна этой величине. Поэтому относительная погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к узкому и широкому коленам, составляет
Таким образом, относительная погрешность измерения одного и того же давления с помощью шкалы, присоединенной к узкому колену манометра, оказывается меньше, чем относительная погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к широкому колену манометра. В отношении площадей сечений колен
Поэтому если погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к узкому колену манометра, составляет , то относительная погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к широкому колену манометра, составит
Правильная идея решения - нахождение цены деления шкалы и относительной погрешности измерения давления при прикреплении шкалы к широкому и узкому колену манометра
Правильные нахождение относительной погрешности манометра при прикреплении шкалы к широкому и узкому колену манометра
Правильные вычисления
Правильные и обоснованные выводы относительно точности измерения давления манометром при прикреплении шкалы к широкому и узкому коленам манометра