Инженерная олимпиада 2023, 10 класс, задача 2

Оба положения модели корабля, данные в условии, являются положениями равновесия - это значит, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на модели равна нулю. Поэтому в этом положении потенциальная энергия модели в поле силы тяжести достигает или максимума или минимума среди всех соседних положений. Однако в положении устойчивого равновесия этот экстремум потенциальной энергии должен быть минимумом. Найдем, какое из двух положений, данных в условии, отвечает минимуму потенциальной энергии.

Потенциальная энергия плавающего тела складывается из потенциальной энергии самого тела и потенциальной энергии воды, которая поднимается благодаря ее вытеснению телом. Потенциальная энергия тела в обоих случаях одинакова, поскольку его центр тяжести находится на уровне воды. Потенциальную энергию вытесненной воды можно посчитать так. До вытеснения - это потенциальная энергия воды в объеме погруженной в воду части тела, после вытеснения - это потенциальная энергия этой воды на поверхности воды в сосуде. Поэтому потенциальная энергия воды в объеме погруженной в воду части тела равна (относительно уровня воды в сосуде)

где - масса вытесненной воды, - ускорение свободного падения, - расстояние от центра тяжести вытесненной воды до поверхности воды в сосуде. Масса вытесненной воды одинакова и для первой, и для второй модели, а вот расстояние от поверхности до центра тяжести - разное. В первом случае (случае а)) оно равно (где - ребро поперечного сечения модели), во втором случае (в случае б)) - (эта формула связана с тем, что сечение погруженной части модели - треугольник, а его центр тяжести находится в точке пересечения медиан). Поскольку

потенциальная энергия плавающего тела в случае а) больше потенциальной энергии тела в случае б). А поскольку «между ними» нет других положений равновесия, то потенциальная энергия плавающего тела в положении а) достигает максимума, в положении б) - минимума. Поэтому положение а) - неустойчивое, положение б) - устойчивое равновесие.