Стержень на плоскости
Однородный стержень массой движется по плоскости так, что в некоторый момент времени абсолютные значения ускорений концов и стержня оказываются равны и , при этом ускорения направлены вдоль параллельных прямых, а векторы скоростей концов равны друг другу. Какая внешняя сила действует на стержень в данный момент времени? Определите модуль и направление вектора силы.
Решение
Векторы скоростей всех точек твёрдого стержня в рассматриваемый момент времени равны друг другу. Чтобы через малое время проекции скоростей всех точек на направление стержня по-прежнему оставались одинаковыми, проекции ускорений на направление стержня тоже должны быть одинаковыми. Абсолютные значения ускорений концов стержня различны, но при этом ускорения направлены вдоль параллельных прямых, поэтому векторы ускорений могут давать одинаковую проекцию на направление стержня только в том случае, если векторы ускорений перпендикулярны стержню. Перейдём в инерциальную систему отсчёта, в которой в данный момент времени стержень покоится. Ускорения точек стержня не изменят своего значения и направления. Через бесконечно малый промежуток времени скорости точек стержня будут перпендикулярны стержню и скорость точки будет вдвое больше скорости точки . Скорости остальных точек стержня будут пропорциональны расстоянию до мгновенного центра вращения. Пусть на стержне это точка , тогда ускорения точек в начале интервала времени должны быть тоже пропорциональными расстоянию до точки стержня. Проведём прямые через начала ускорений и и через их концы. Точка стержня, которая лежит на пересечении этих прямых, имеет нулевое ускорение (точка ). Найдём ускорение центра масс стержня. Если ускорения точек A и B направлены в одну сторону, то ускорение центра масс равно и совпадает с направлением векторов и . Если ускорения точек A и B направлены в разные стороны, то ускорение центра масс равно и совпадает с направлением вектора . Результирующую силу, действующую на стержень, найдём, воспользовавшись теоремой о движении центра масс. В итоге получаем, что на стержень действует либо сила , либо сила . В обоих случаях вектор силы направлен в ту же сторону, что и вектор . Ответ: или ; вектор силы направлен в ту же сторону, что и вектор .
Доказывается, что векторы ускорений перпендикулярны стержню.
Высказывается мысль о том, что ускорения точек стержня пропорциональны расстоянию до точки пересечения линий, проходящих через начала ускорений и , и через их концы.
Найдено ускорение центра масс для случая, когда ускорения точек и направлены в разные стороны: .
Найдено ускорение центра масс для случая, когда ускорения точек и направлены в одну сторону: .
Выписан хотя бы один верный ответ.