Росатом 2024, 11 класс, задача 3
Имеется закрытый сосуд в форме тора - замкнутой кольцевой цилиндрической трубки. Сосуд разделили на три отсека тремя подвижными поршнями , и и расположили на горизонтальном столе (см. рисунок; вид сверху). В сосуде содержатся молей одноатомного идеального газа (в сумме во всех отсеках). В начальном состоянии объемы отсеков сосуда одинаковы, температуры газа равны , и (показаны на рисунке), а поршни находятся в равновесии. Считая, что поршень тепло не проводит, найти, сколько тепла пройдет через поршни и при установлении теплового равновесия. Потерями тепла в окружающее пространство пренебречь.
Решение.
Поскольку поршни находятся в равновесии, то давления в каждом отсеке сосуда одинаковы. А поскольку одинаковыми являются и объемы, отсеков, то закон Клапейрона-Менделеева для газов в отсеках дает
где - давление газа в сосуде (одинаковое во всех отсеках), - объем каждого отсека, , и - количества вещества газа в первом, втором и третьем отсеках (где температура равнялась , и соответственно). Из этих соотношений находим
А поскольку , то
Поскольку потерь энергии в окружающее пространство нет, и газы не совершают работы над внешними телами, суммарная внутренняя энергия газов при теплообмене не изменится. Поэтому результирующая температура в сосуде может быть следующим образом найдена из закона сохранения энергии
Отсюда
Кроме того, из закона сохранения энергии можно доказать, что давление в сосуде не менялось в течение всего процесса. Действительно, поскольку в течение всего процесса поршни находятся в равновесии, то давления газа в отсеках одинаковы, и энергия газов в сосуде в любой момент времени может быть записана в виде
А поскольку энергия не уходила из системы, заключаем, что , т.е. давление не менялось в течение всего процесса, и все процессы с газами были изобарическими.
Теперь легко найти количества теплоты, прошедшие через поршни и . Газ, находившийся в первом отсеке (и имевший температуру , получает тепло только через поршень и нагревается в изобарическом процессе до температуры . Но количество теплоты, полученное одноатомным идеальным газом в изобарическом процессе составляет от изменения его внутренней энергии. Поэтому количество теплоты, прошедшее через поршень в направлении того отсека, температура которого в начале процесса была , есть
Количество теплоты, прошедшее через поршень в направлении того отсека, температура которого в начале процесса была , есть
Правильно найдены количества вещества газа в отсеках
Правильно найдена конечная температура в сосуде
Доказано, что с газами в отсеках происходят изобарические процессы
Использовано правильное утверждение, что количество теплоты, полученное газом в изобарическом процессе, составляет пять третьих изменения внутренней энергии
Правильные ответы для количеств теплоты, прошедших через поршни и