Росатом 2022, 9 класс, задача 5
На столе стоят три цилиндрических сосуда с одинаковой площадью дна. Объемы сосудов , , . Сосуды до краев заполнены водой. Воду в сосудах нагревают с помощью кипятильника, мощности которого не хватает для того, чтобы ее вскипятить. В первом сосуде воду удается нагреть до температуры С, во втором - до температуры С. До какой температуры удастся нагреть воду в третьем сосуде с помощью данного кипятильника? Считать, что теплоотдача пропорциональна разности температур воды и окружающей среды и площади контакта между ними. Комнатная температура С, вода в сосудах прогревается равномерно.
Решение.
Теплоотдача от сосудов в окружающую среду складывается из теплоотдачи через свободную поверхность воды в сосуде, дно и боковые стенки. Поскольку при переходе от одного сосуда к другому площадь дна и свободной поверхности воды не меняется, во всех трех случаях она пропорциональна разности температур воды и среды
где - количество теплоты, уходящее из сосуда через дно и свободную поверхность в единицу времени, - температура воды в сосуде, - температура воздуха в комнате, - коэффициент пропорциональности, который одинаков во всех трех случаях.
Теплоотдача через боковые стенки пропорциональна разности температур воды и комнаты и площади поверхности боковых стенок. Эта площадь разная для трех сосудов, причем она пропорциональна высоте сосуда и, следовательно, его объему (поскольку площадь дна сосудов одинакова). Поэтому для теплоотдачи через боковые стенки можно написать
где - количество теплоты, уходящее из сосуда через боковые стенки в единицу времени, - температура воды в сосуде, - температура воздуха в комнате, - коэффициент пропорциональности, который одинаков во всех трех случаях.
Рассмотрим теперь тепловой баланс для всех трех случаев. Пусть мощность нагревателя равна . Поскольку в первом случае вода не нагревалась выше температуры , то теплоотдача из сосуда при этой температуре равна мощности нагревателя
где - объем первого сосуда. Во втором случае уравнение теплового баланса аналогично
Решая эту систему уравнений относительно и , получим
Для третьего сосуда уравнение теплового баланса дает
Отсюда находим
Правильная идея решения: в равновесии поток тепла, сообщенного сосудам нагревателем, равно количеству тепла потерянного, которое можно найти по закону Фурье
Правильные уравнения для потери тепла первым и третьим сосудами
Правильно найдены коэффициенты пропорциональности в законе Фурье для теплопотерь через дно и стенки сосуда
Правильный ответ