Росатом 2022, 11 класс, задача 3
В открытом вертикальном цилиндрическом сосуде с одноатомным идеальным газом находятся четыре одинаковых тонких массивных подвижных поршня массой каждый. Расстояния между поршнями и между нижним поршнем и дном сосуда равны , , и (см. рисунок). В некоторый момент времени включается нагреватель, расположенный между дном сосуда и нижним поршнем, и медленно сообщает газу количество теплоты . На сколько сместится верхний поршень, если поршни (за исключением верхнего) проводят тепло, стенки сосуда и верхний поршень тепло не проводят, теплоемкостью сосуда и поршней можно пренебречь. Атмосферное давление отсутствует.
Решение.
Поскольку тепло подводится медленно, поршни в любой момент времени находятся в равновесии. Поэтому давление газа в каждом отсеке остается неизменным в течение всего процесса. Это значит, что с газом в отсеках сосуда происходит изобарический процесс при давлениях, которые определяются условиями равновесия поршней:
где , , и - давления газа в отсеках сосуда, начиная с верхнего, - масса поршня.
Поскольку процесс, происходящий с газом в отсеках сосуда, - изобарический, а температура газа в отсеках меняется одинаково, то отношение объемов газов при их расширении сохранится. Это значит, что отношение объемов отсеков сосуда (начиная с верхнего) будет таким же, как и до нагревания
Здесь - объемы отсеков сосуда (начиная с верхнего) после нагревания. А это в свою очередь означает, что так же относятся и изменения объемов отсеков сосуда
Поэтому если нижний поршень сместится при нагревании вверх на величину , то второй снизу сместится на , третий снизу - на , верхний - на :
Используем теперь первый закон термодинамики. Поскольку процессы, происходящие с газом - изобарические, то количество теплоты, которое сообщается газу при его расширении на есть , то для указанного изменения их объемов необходимо следующее количество теплоты
Используя теперь формулы (1) и (2), получим
( - площадь сечения сосуда). Отсюда находим величину
а затем и смещение верхнего поршня
Понято, что процесс, происходящий с газом – изобарический, и потому отношение изменений объемов отсеков при нагревании равно отношению первоначальных объемов
Правильно найдены смещения всех поршней
Правильное использование первого закона термодинамики для процесса в каждом отсеке
Правильный ответ для смещения верхнего поршня