Росатом 2024, 9 класс, задача 4
В теплоизолированный цилиндрический сосуд опустили кусок льда при нулевой температуре и приклеили его ко дну. Затем в сосуд налили такое же (по массе) количество теплой воды. Вода полностью покрыла лед и достигла уровня над дном сосуда. При установлении теплового равновесия уровень воды в сосуде опустился на . Найти температуру теплой воды. Плотность воды , плотность льда , удельная теплоемкость воды , удельная теплота плавления льда .
Ответ
Решение.
Исследуем сначала вопрос о том, весь ли лед растаял. Когда в сосуд залили горячую воду, в нем находились одинаковые массы воды и льда. Поэтому для объёма содержимого сосуда имеем
где - площадь дна сосуда, - массы воды и льда, и - плотности воды и льда. Найдем, на какую величину опустится уровень воды в сосуде, если растает весь лед. В этом случае в сосуде будет только вода с массой , и для ее объема имеем
Вычитая теперь из , получим
Из , находим
Таким образом, при таянии куска льда, приклеенного к дну сосуда, содержащего равные массы льда и воды, уровень воды должен понизиться на . Т.е. для нашего уровня на величину, чуть большую одного сантиметра. А у нас уровень понизился на . Это значит, что при устоновлении теплового равновесия весь лед не растаял, и, следовательно, в сосуде есть лёд и вода, а его температура - . Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид
где - начальная температура горячей воды, - масса растаявшего льда. Поскольку понижение уровня воды в сосуде связано именно с растаявшим льдом, то
Для массы воды, налитой в сосуд имеем из
В результате из уравнения теплового баланса находим