Ломоносов 2025, 10 класс, задача 1

Решение.

Отметим все силы, действующие на брусок и груз, и введем координатные оси, как показано на рисунке. На покоящийся брусок, помимо силы тяжести и силы натяжения нити , действует ещё сила реакции опоры. Её касательная составляющая - сила трения покоя. Модуль этой силы может меняться от до максимального значения, равного силе трения скольжения , где - коэффициент трения бруска о наклонную плоскость, - нормальная составляющая силы реакции опоры. Очевидно, что при массе подвешенного груза сила трения покоя направлена вдоль наклонной плоскости вверх (как отмечено на рисунке) и равна по модулю . Такая же по модулю сила, но направленная вдоль наклонной плоскости вниз, будет действовать при массе груза . Модуль нормальной составляющей силы реакции опоры равен при этом , т.к. брусок не имеет ускорения вдоль оси .

Учтём, что из условия невесомости блока и нити, отсутствия трения в оси блока, а также неподвижности подвешенного груза, следует, что . Исходя из этого, запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось для случаев, когда массы грузов равны и :

Вычитая и складывая эти два уравнения, получим:

Поделив равенства друг на друга, найдём коэффициент трения :

После того как нить пережгли, уравнение движения бруска имеет вид:

Отсюда получим ускорение, с которым будет скользить брусок:

Расстояние , которое преодолеет брусок, двигаясь с нулевой начальной скоростью, связано с ускорением и временем законом равнопеременного движения:

Отсюда получаем, что искомое время равно:

Ответ. .