Росатом 2025, 9 класс, задача 5
Тело движется в положительном направлении оси с переменным ускорением. На рисунке представлен график зависимости проекции ускорения тела на ось от пройденного им пути (величины и известны). Найти мгновенную скорость тела в тот момент времени, когда оно пройдет расстояние с начала движения. Начальная скорость тела известна.
Решение.
Разобьем весь путь , пройденный телом, на малые участки, настолько малые, что движение тела на каждом участке можно считать равноускоренным. Для равноускоренного движения в одном направлении с возрастающей скоростью справедливо соотношение
где и - скорость тела в конце и в начале рассматриваемого участка пути (), а проекция ускорения на ось движения, - пройденный телом путь. Такие же соотношения будут справедливы для любого участка движения, причем скорость, которая является конечной для одного участка, будет начальной для следующего. Поэтому если сложить формулы для всех участков пути, квадраты скоростей за исключением квадрата начальной и квадрата конечной (для всего движения) скорости сократятся. Поэтому
где - начальная скорость тела, - искомая скорость тела при прохождении им пути , а вот сумма в скобках имеет такой же математический смысл, как сумма величин , которую приходится вычислять при вычислении работы переменной силы. Поэтому эта сумма может быть найдена как площадь под графиком зависимости ускорения тела от пройденного пути, который должен меняться в нужных нам пределах - от нуля до . Поскольку фигура, ограниченная графиком, горизонтальной осью и вертикальными прямыми и , есть трапеция, ее площадь находится как
Отсюда находим конечную скорость тела
Правильная идея решения - разбиение движения на отдельные равноускоренные движения.
Правильное использование уравнения для каждого элементарного равноускоренного движения.
Обоснована связь среднего квадрата конечной и начальной скоростей с площадью под графиком ускорения от пройденного пути.
Правильно вычислена площадь под графиком.
Правильный ответ.