Робофест 2025, 10 класс, задача 2
Вопрос. В двух одинаковых баллонах неизменного объема находятся разные количества одного и того же газа, который можно считать идеальным. В первом баллоне находятся газа при температуре , а во втором - газа при температуре . На сколько процентов давление во втором баллоне выше, чем в первом?
Задача. В жесткий баллон закачивают воздух одинаковыми порциями. В результате температура газа в баллоне в зависимости от массы газа изменяется по закону
где - начальная температура. Начальное давление воздуха в баллоне . В ходе такого процесса масса газа в баллоне была увеличена от до . Найдите минимальную величину давления газа за все время закачивания. При какой массе газа в баллоне давление было минимальным? Воздух можно считать идеальным газом.
Ответ на вопрос. Давление идеального газа определяется уравнением Менделеева-Клапейрона:
Поскольку объемы и молярные массы одинаковы, то
Таким образом, во втором баллоне давление на выше, чем в первом.
Решение задачи. В соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона . Подставим в это соотношение уравнение процесса и получим давление как функцию массы газа в баллоне:
Как известно, функция имеет минимум при , и данная функция минимальна при
поскольку это значение принадлежит заданному интервалу изменения массы. Минимальное давление
Ответ. Минимальное давление достигается при .
Записано уравнение Менделеева-Клапейрона.
Отмечено, что объемы одинаковы.
Отмечено, что молярные массы одинаковы.
Записан верный аналитический ответ для отношения давлений.
Получен правильный численный ответ для отношения давлений.
Записано выражение для давления, следующее из уравнения Менделеева-Клапейрона.
Получено уравнение для .
Указано, что минимум отвечает .
Получен аналитический и численный ответы для .
Получен аналитический ответ для .
Получен численный ответ для .