Увеличение системы
Внутри трубы с непрозрачными стенками располагаются две одинаковые тонкие плосковыпуклые линзы. Плоскости линз перпендикулярны оси трубы (см. рисунок).
Наблюдатель рассматривает через систему линз небольшой предмет , располагающийся на расстоянии от передней линзы. График зависимости поперечного увеличения от расстояния показан на рисунке. Предполагая, что изображение формируется параксиальными (приосевыми) лучами, определите расстояние между линзами, а также их фокусное расстояние .
Решение.
Покажем относительно короткое решение этой задачи. Пусть предмет находится на расстоянии от правой линзы, проще говоря, предмет находится вблизи оптического центра правой линзы. Тогда правая линза формирует мнимое изображение предмета, располагающееся также вблизи оптического центра правой линзы, при этом предмет изображается в линзе с поперечным увеличением
примерно равным . Изображение предмета в правой линзе является фиктивным предметом для второй линзы. Этот фиктивный предмет располагается на расстоянии от левой линзы и, как следует из графика, изображается с увеличением в этой линзе. Отсюда следует уравнение
которое имеет два решения и .
Рассмотрим первое решение . Пусть расстояние до предмета меньше фокусного расстояния линзы: . Тогда правая линза даёт мнимое изображение, располагающееся на расстоянии
увеличение этого изображения равно
Расстояние от фиктивного предмета до левой линзы даётся формулой
Подставляя значение в формулу линзы, находим расстояние до изображения во второй линзе
и увеличение, с которым изображается фиктивный предмет во второй линзе
Перемножая увеличения, полученные в (10) и (11), находим формулу, дающую увеличение системы
Из полученной формулы следует, что при изменении от до увеличение уменьшается, что не соответствует графику, представленному в условии. Таким образом, значение не подходит.
Исследуем значение . В этом случае, считая , и рассуждая аналогично предыдущему случаю, имеем вместо формул (11) и (12) соотношения
Легко видеть, что вторая формула из (13) соответствует приведённому в условии графику при . Расстояние между линзами, очевидно, равно . Отметим, что ответы можно получить и другим способом, например, решая задачу «в лоб».
Ответ. , .
Если получены неверные ответы, но это явилось следствием только вычислительных ошибок или неверного считывания значений с графика, то такие ответы дают оценку 5 баллов за всю задачу.
Указывается, что увеличение системы равно произведению увеличений в каждой из линз.
Получена верная формула, дающая увеличение в первой линзе, для любых значений или для из некоторого диапазона.
Получена верная формула, дающая увеличение во второй линзе.
Если получены неверные формулы, но только вследствие вычислительных ошибок, то за любую из формул для увеличения выставляется 0,5 балла.
Если произведён анализ зависимости увеличения от для отдельных точек и на основе этого анализа получены верные соотношения, связывающие и , то выставляется 2 балла.
Если соотношения неверны, но только вследствие вычислительных ошибок, то выставляется 1 балл.