МОШ 2026, 11 класс, задача 4
Плавкий предохранитель - это одноразовый защитный элемент. Его современной многоразовой альтернативой является самовосстанавливающийся предохранитель (известный также под названием Polyswitch).
В основе устройства лежит полимерный материал с проводящими вкраплениями. При достижении критической температуры в материале происходит фазовый переход: проводящие пути разрушаются, и электрическое сопротивление устройства резко возрастает. При остывании материала ниже структура проводящих путей восстанавливается, и сопротивление возвращается к исходному низкому значению.
Поведение некоторого самовосстанавливающегося предохранителя предлагается описывать с помощью следующей упрощённой модели. При температуре ниже критической температуры его сопротивление постоянно и равно . При оно скачкообразно увеличивается до и при дальнейшем нагреве не меняется. В самой точке фазового перехода (при ) сопротивление может принимать любые промежуточные значения в диапазоне от до .
Считайте, что мощность теплоотдачи от предохранителя в окружающую среду описывается соотношением
где - коэффициент теплоотдачи, - температура окружающей среды, - температура предохранителя.
- Изобразите статическую вольт-амперную характеристику (ВАХ) предохранителя, считая, что в любой точке ВАХ он находится в установившемся тепловом режиме.
- Пусть предохранитель подключён к идеальному источнику с ЭДС последовательно с реостатом, сопротивление которого может меняться от до , и катушкой индуктивности . Считайте, что индуктивность катушки достаточно велика, так что тепловой баланс в предохранителе устанавливается гораздо быстрее, чем меняется ток. Это позволяет описывать состояние предохранителя его статической ВАХ в любой момент времени. Сколько рабочих точек теоретически может реализоваться в цепи при различных значениях сопротивления реостата? Какие из этих точек являются устойчивыми относительно флуктуаций тока в цепи?
Рабочая точка считается устойчивой по току, если при малом отклонении тока от значения в рабочей точке возникающая в катушке ЭДС самоиндукции стремится вернуть цепь в исходное состояние.
- Теперь рассмотрим реальную цепь. Предохранитель подключили через ключ последовательно с резистором к двум соединённым последовательно батарейкам 3R12 (ЭДС каждой , внутреннее сопротивление ). Какой ток установится в цепи после замыкания ключа, если ?
Опишите качественно процессы, происходящие в цепи после замыкания ключа, если сопротивление резистора равно . Учтите, что в этом случае ток может изменяться настолько быстро, что температура предохранителя не будет успевать подстраиваться под текущее значение мощности.
Сформулировано условие стационарности: мощность тепловыделения равна мощности теплоотдачи ( ).
Рассчитана критическая мощность теплоотдачи при температуре фазового перехода Вт.
Обосновано, что на этапе фазового перехода , следовательно, отводимая мощность строго постоянна.
Из условия аналитически выведен функциональный вид ВАХ на участке перехода: .
Получены аналитические выражения и рассчитаны численные значения токов излома А и мА.
На графике изображена «холодная» ветвь (линейный участок до ).
На графике изображена «горячая» ветвь (линейный участок при больших напряжениях).
На графике изображен гиперболический участок, соединяющий две линейные ветви.
Записано уравнение нагрузочной прямой .
Рассчитаны критические значения сопротивления: Ом и Ом.
Верно определено количество точек при Ом (1 точка).
Верно определено количество точек при Ом (2 точки).
Верно определено количество точек при Ом Ом (3 точки).
Верно определено количество точек при Ом (2 точки).
Верно определено количество точек при Ом (1 точка).
Записано уравнение контура:.
Линеаризация: осуществлен переход к малым отклонениям тока через введение дифференциального сопротивления .
Получен критерий устойчивости через сумму сопротивлений: или аналогичный.
Обоснована устойчивость точек на ветвях с положительным дифференциальным сопротивлением.
Доказано, что из двух точек на гиперболическом участке устойчива только точка с бо́льшим током.
Определены параметры эквивалентного источника ( В, Ом).
Для Ом: найден ток А в установившемся режиме.
Для Ом: тем или иным способом обосновано, что предохранитель не срабатывает (напр. через сравнение и ).
Для Ом: рассчитан начальный ток «холодного» включения ( А) и сделан вывод о неизбежном уходе с «холодной» ветви.
Математически показано отсутствие устойчивого равновесия на гиперболе ().
Описана качественная картина возникновения релаксационных автоколебаний системы.