По окружности и побыстрее
Автомобилист проезжает полуокружность радиусом так, чтобы, стартовав из положения покоя, добраться до её конца как можно быстрее. Поверхность дороги горизонтальна, автомобиль — небольшой по размеру, с мощным двигателем и четырьмя ведущими колёсами. Общий коэффициент трения всех колёс о дорогу можно считать постоянным и равным . Ускорение свободного падения примите равным .
-
До какой максимальной скорости может разогнаться автомобиль на этой дороге?
-
Определите скорость автомобиля при прохождении точек , и во время заезда (см. рисунок).
-
Найдите общее время прохождения полуокружности .
Указание: считайте известной константой .
Ответ
В рамках предположений условия максимальная величина силы трения колёс о поверхность дороги равна , где — масса автомобиля, и при этом её можно направить в любом направлении в горизонтальной плоскости дороги. Так как другие горизонтальные силы на автомобиль не действуют, то именно сила трения и разгоняет автомобиль, и удерживает его на нужной траектории.
Пусть — угол между скоростью автомобиля и направлением силы трения в некоторый момент времени (см. рисунок). Тогда уравнения для касательной и центростремительной компонент ускорения автомобиля имеют вид
,
.
Отсюда
,
.
Видно, что разгон автомобиля завершается при и скорость достигает максимального возможного значения при . Далее угол и скорость автомобиля поддерживаются постоянными.
Ответ на второй вопрос можно получить несколькими способами. Уравнение для касательной компоненты ускорения можно преобразовать следующим образом:
.
Поэтому
.
Здесь — путь, пройденный автомобилем от момента старта. Далее можно действовать как минимум тремя путями.
Способ 1. Подставив в (2) квадрат скорости из второго уравнения (1), находим, что
.
На старте и , то есть после суммирования приращений в этом соотношении от старта до любого момента времени в процессе разгона получаем связь угла с пройденным автомобилем расстоянием . Значит, разгон завершится в момент времени, когда , то есть точно в точке .
Способ 2. Выразив и подставив это соотношение в уравнение (2), приводим его к виду
.
Введём новую переменную и получим уравнение
.
Интегрируя его по любому участку пути на дуге , находим, что
.
Как видно, скорость достигает максимума при , то есть точно в точке .
Способ 3. Составив систему из второго уравнения в (1) и (2), можно получить из неё уравнение для зависимости на участке
.
С учётом условий и приходим к решению
.
Как видно, скорость достигает максимума при , то есть точно в точке .
Таким образом, во время заезда с минимальным временем прохождения полуокружности скорость автомобиля в точках , и равна максимальной: .
Ясно, что время прохождения участка полуокружности от до
.
В зависимости от способа решения в пункте 2 далее можно использовать разные способы решения и в этом пункте.
Способ 1. Исключим угол из уравнений (1): на участке
.
где введено обозначение . На этом участке величина изменяется от до , и поэтому, в соответствии с указанием из условия
.
Способы 2 и 3. Поскольку на участке , то:
.
где введено обозначение . Отметим, что
.
На этом участке величина изменяется от до , и поэтому, в соответствии с указанием из условия
.
В итоге общее время прохождения полуокружности
.