По окружности и побыстрее

В рамках предположений условия максимальная величина силы трения колёс о поверхность дороги равна , где — масса автомобиля, и при этом её можно направить в любом направлении в горизонтальной плоскости дороги. Так как другие горизонтальные силы на автомобиль не действуют, то именно сила трения и разгоняет автомобиль, и удерживает его на нужной траектории.

Пусть — угол между скоростью автомобиля и направлением силы трения в некоторый момент времени (см. рисунок). Тогда уравнения для касательной и центростремительной компонент ускорения автомобиля имеют вид

,

.

Отсюда

,

.

Видно, что разгон автомобиля завершается при и скорость достигает максимального возможного значения при . Далее угол и скорость автомобиля поддерживаются постоянными.

Ответ на второй вопрос можно получить несколькими способами. Уравнение для касательной компоненты ускорения можно преобразовать следующим образом:

.

Поэтому

.

Здесь — путь, пройденный автомобилем от момента старта. Далее можно действовать как минимум тремя путями.

Способ 1. Подставив в (2) квадрат скорости из второго уравнения (1), находим, что

.

На старте и , то есть после суммирования приращений в этом соотношении от старта до любого момента времени в процессе разгона получаем связь угла с пройденным автомобилем расстоянием . Значит, разгон завершится в момент времени, когда , то есть точно в точке .

Способ 2. Выразив и подставив это соотношение в уравнение (2), приводим его к виду

.

Введём новую переменную и получим уравнение

.

Интегрируя его по любому участку пути на дуге , находим, что

.

Как видно, скорость достигает максимума при , то есть точно в точке .

Способ 3. Составив систему из второго уравнения в (1) и (2), можно получить из неё уравнение для зависимости на участке

.

С учётом условий и приходим к решению

.

Как видно, скорость достигает максимума при , то есть точно в точке .

Таким образом, во время заезда с минимальным временем прохождения полуокружности скорость автомобиля в точках , и равна максимальной: .

Ясно, что время прохождения участка полуокружности от до

.

В зависимости от способа решения в пункте 2 далее можно использовать разные способы решения и в этом пункте.

Способ 1. Исключим угол из уравнений (1): на участке

.

где введено обозначение . На этом участке величина изменяется от до , и поэтому, в соответствии с указанием из условия

.

Способы 2 и 3. Поскольку на участке , то:

.

где введено обозначение . Отметим, что

.

На этом участке величина изменяется от до , и поэтому, в соответствии с указанием из условия

.

В итоге общее время прохождения полуокружности

.