Инженерная олимпиада 2023, 10, 11 класс, задача 6

Докажем, что сила натяжения стержня 6 равна нулю. Действительно, пусть эта сила не равна нулю. Тогда условие равновесия узлов I и II (см. рисунок) дают

(на рисунке принято определенные направления сил натяжения стержней; доказательство равенства нулю силы натяжения стержня 6 от этих направлений не зависит). Благодаря симметрии конструкции относительно «право-лево» силы натяжения стержней 4 и 5 одинаковы. Поэтому условия равновесия узлов I и II в проекциях на оси перпендикулярные стержням 1 и 2 соответственно будут одинаковы за исключением силы натяжения стержня 6, которая, таким образом, должна быть равна нулю

Это значит, что стержень 6 можно удалить из конструкции, а для нее справедливо и условие симметрии «верх-низ». То есть

Теперь из условия равновесия самого левого узла (см. рисунок) заключаем, что стержни 1 и 2 (и, следовательно, 8 и 9) будут сжаты, а силы их натяжения равны

Поэтому из условия равновесия верхних или нижних узлов заключаем, что стержни 4 и 5 тоже будут сжаты, а стержни 3 и 7 растянуты. Поэтому из условия равновесия, например, узла II (см. рисунок)

в проекциях на горизонтальную ось получаем, что , и, следовательно,

А из условия равновесия в проекциях на вертикальную ось

находим

Итак:

стержни 1, 2, 4, 5, 8, 9 - сжаты,

стержни 3 и 7 - растянуты,

стержень 6 не нагружен,