Мартышка тянет удава
У дав выпрямился, лежа на горизонтальной поверхности, расслабился и не сопротивляется совсем. Его масса равномерно распределена по его длине . Поверхность гладкая, и по ней рядом с удавом и параллельно ему проложена тропинка (не гладкая) для прогулок. Мартышка, находясь на этой тропинке, схватила удава за кончик его хвоста и потащила этот конец удава в направлении к его голове. При этом удав целиком лежит на поверхности. Сила , с которой мартышка тянет хвост удава, горизонтальна и меняется в зависимости от временем по закону , где — это известная постоянная величина.
А) С какой скоростью двигался кончик хвоста удава в тот момент, когда расстояние от него до головы удава впервые стало равно ?
Б) Через какое время хвост удава поравняется с неподвижной головой удава?
В) Какой будет скорость всего удава в тот момент, когда его голова придёт в движение? Указание. Может оказаться полезной формула , .
Решение
К некоторому моменту времени кончик хвоста удава переместился на расстояние . В этот момент импульс удава (той его части, которая уже пришла в движение) равен
.
Скорость изменения импульса равна силе
.
Интегрируем уравнение два раза по времени, и получаем соотношение
.
Здесь — константа, связанная со скоростью кончика хвоста в начальный момент, а — это константа, зависящая от начальной координаты кончика хвоста. В начальный момент времени и скорость , и смещение кончика хвоста удава равны нулю. Отсюда следует, что и , поэтому справедлива формула
. (1)
Смещение связано со временем так:
.
А скорость кончика хвоста так:
или
. (2)
Для ответа на первый вопрос нужно найти время, когда . Подставляем это значение в формулу (1) и получаем
.
Подставим найденное значение времени в формулу для скорости (2), имеем
или
.
Для ответа на второй вопрос, нужно в формулу (1) подставить значение :
.
Для ответа на третий вопрос, нужно в формулу (1) подставить значение , и получить значение времени, а затем полученное значение времени подставить в формулу (2). Сначала получится соотношение
,
а затем ответ:
или
.
Ответ: А) . Б) . В) .
Указано, что константы и , возникшие при двукратном интегрировании, равны нулю, и написана формула связи и , в которой величина пропорциональна .
Получена формула для величины перемещения кончика хвоста от времени, прошедшего с момента начала движения.
Получена формула для скорости кончика хвоста от времени, прошедшего с момента начала движения.
Получена величина промежутка времени между началом движения и моментом, когда кончик хвоста переместился на расстояние .
Получено выражение для скорости движения кончика хвоста в найденный момент времени.
Найден промежуток времени между началом движения и моментом, когда кончик хвоста поравнялся с головой удава.
Найден промежуток времени между началом движения и моментом, когда голова удава начала двигаться.
Найдена скорость удава в этот момент времени.
Написано выражение для импульса удава в момент времени, когда кончик хвоста переместился на расстояние .
Записан -й закон Ньютона в виде .
Уравнение для скорости изменения импульса дважды проинтегрировано и получена связь между временем и перемещением кончика хвоста удава с константами и .