Инженерная олимпиада 2026, 11 класс, задача 4
В вершинах острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника расположены источники света с интенсивностью и (см. рисунок). Под каким углом к катету, направленному к более интенсивному источнику, нужно расположить маленькую пластинку в вершине прямого угла, чтобы ее освещенность была максимальна? Чему равна эта освещенность, если катеты треугольника равны ? Интенсивностью источника света называется световая энергия, излучаемая источником в единицу времени. Освещенностью площадки называется световая энергия, падающая на единицу площади площадки в единицу времени.
Решение.
Найдем освещенность площадки как функцию угла и исследуем эту функцию на максимум. Сначала источник с интенсивностью . Так как энергия, излученная источником, нигде не накапливается, энергия, проходимая через сферу любого радиуса в единицу времени, равна . Поэтому через единицу площади сферы радиуса пройдет в единицу времени энергия
а, значит, освещенность площадки, связанная с источником интенсивности , равна
где - угол между площадкой и перпендикуляром к направлению падения света. Аналогично для освещенности, связанной со вторым источником, получим
Из этих формул находим, что освещенность площадки равна
Находя производную этой функции по и приравнивая производную к нулю, получим уравнение для угла , которому отвечает максимум освещенности
Чтобы найти освещенность для этого угла, выразим синус и косинус угла через его тангенс. Имеем
Отсюда находим максимальную освещенность площадки
То, что это максимальная (а не минимальная) интенсивность можно видеть, например, из того факта, что при расположении площадки перпендикулярно световому потоку или одного, или второго источника ее освещенность будет меньше этой величины. Например, при расположении площадки перпендикулярно световому потоку более интенсивного источника, ее освещенность будет равна
что меньше найденной величины.
Правильно найдена плотность потока световой энергии от источников в области площадки
Правильно найдена освещенность площадки для произвольного угла наклона площадки к световым потокам
Правильно найден угол, отвечающий экстремуму этой функции
Правильно найдена освещенность, отвечающая экстремальному углу
Доказано, что экстремум - максимум