Инженерная олимпиада 2025, 11 класс, задача 5
В цилиндрической теплоизолированной трубе, наполненной водой, сделаны две перегородки из одинакового пенопласта, перпендикулярные оси трубы, толщина которых отличается вдвое (см. рисунок). Известно, что если бы температура воды слева и справа от более тонкой перегородки отличалась на , поток тепла через эту перегородку составил бы Дж/с. Какой будет установившаяся температура воды в полости между перегородками, если справа от толстой перегородки поддерживать температуру C, а слева от тонкой - C. Какое количество теплоты в единицу времени нужно выделять в горячей воде и удалять из холодной воды, чтобы поддерживать такое равновесие? Указание. Количество тепла , переносимого в единицу времени через единицу площади тонкого слоя толщиной , одна поверхность которого поддерживается при температуре , вторая - при температуре , определяется законом:
где коэффициент определяется свойствами вещества (закон Фурье).
Решение.
В тепловом равновесии внутри полости установится такая температура , что поток тепла в полость от более горячей воды и поток тепла из полости в более холодную воду будут быть одинаковы. Потоки тепла находим по закону Фурье (см. указание к условию)
от горячей воды к полости
от полости к холодной воде
( - площадь сечения трубы, - теплопроводность пенопласта, и - толщины тонкой и толстой перегородок). Приравнивая эти два потока, получим
откуда находим
Чтобы такое равновесие поддерживать в горячей воде нужно в единицу времени выделять такое количество теплоты, которое передается в полость (а из холодной воды это количество нужно удалять). Т.е. мощность тепловыделения равна
С другой стороны, условие задачи дает нам информацию о коэффициенте теплопроводности, площади сечения и толщине перегородок. Если бы разность температур слева и справа от тонкой перегородки составляла C, то поток тепла равнялся бы . Поэтому из закона Фурье имеем
Отсюда
Подставляя эту формулу в мощность тепловыделения в горячей воде, получим
Правильная идея нахождения равновесного состояния – поток тепла от горячей воды в полость и от полости к холодной воде одинаковы
Правильное уравнение для нахождения равновесной температуры
Правильно найдена равновесная температура в полости (и формула, и число)
Правильная идея нахождения мощности тепловыделения (и теплостока) – количество выделенного (и удаленного) тепла равна тепловому потоку в полость и из полости
Правильно найдена мощность тепловыделения (и теплостока)