ВсОШ 2024, Муницип, 11 класс, задачи 9–11
В горизонтальной поверхности большого стола сделано очень маленькое круглое отверстие, в которое вставлена вертикальная цилиндрическая труба. Внутри трубы двигают вверх с постоянной скоростью поршень, верхняя поверхность которого наклонена под углом к горизонту. На поршень сверху с некоторой высоты падает маленький шарик (см. рис.). В момент непосредственно перед абсолютно упругим соударением шарика с поршнем скорость шарика направлена вниз и равна . Точка, в которой происходит столкновение, находится как раз на уровне поверхности стола. После столкновения с поршнем шарик падает на поверхность стола на расстоянии от отверстия в столе. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным .
1. Чему равно расстояние ? Ответ приведите в , округлив до десятых долей.
2. Пусть угол наклона верхней поверхности поршня к горизонту можно изменять. При какой величине угла будет достигаться максимально возможная дальность полёта шарика? Ответ приведите в градусах, округлив до целого числа.
3. Чему равно это максимально возможное значение ? Ответ приведите в , округлив до десятых долей.
Решение.
1. Если перейти в систему отсчёта, связанную с поршнем, то скорость шарика непосредственно перед ударом будет направлена вертикально вниз и равна . Сразу после абсолютно упругого соударения с поршнем вектор скорости шарика будет составлять угол с вертикалью, поэтому проекции скорости на горизонтальную и вертикальную оси относительно системы отсчёта, связанной со столом, будут равны
Тогда дальность полёта по горизонтали составит
2. Чтобы найти угол, при котором дальность полёта максимальна, необходимо найти, при каком угле будет достигаться максимум функции:
Откуда находим значение :
Оставляя положительное значение,
Угол , угол .
3. Подставим найденное значение угла в выражение для дальности полёта:
Ответы.
| Вопрос | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Ответ |
Максимальный балл за задачу