Робофест 2023, 11 класс, задача 1
Вопрос. По гладкой наклонной поверхности клина скользит доска массы , на которой находится груз массы , движущийся вместе с доской благодаря силе трения между ними. Доска через отрезок невесомой нерастяжимой нити прикреплена к концу легкой пружины с жесткостью . Второй конец пружины закреплен неподвижно. Доска совершает малые гармонические колебания. Найдите их период.
Задача. В системе из вопроса высота клина , ширина , а коэффициент трения между доской и грузом . Какова максимальная возможная амплитуда гармонических колебаний доски? Ускорение свободного падения равно .
Ответ
Ответ на вопрос. При гармонических колебаниях доски с грузом груз не скользит по доске, а нить остается натянутой. Так что здесь происходят колебания массы на пружине с жесткостью . Период колебаний такого пружинного маятника
Решение задачи. Угол наклона поверхности клина к горизонту определяется соотношением
поэтому
и
Как видно, . Значит, в положении равновесия груз не скользит по доске, и сила упругости пружины уравновешивает проекцию суммарной силы тяжести доски и груза на поверхность клина, то есть
Растяжение пружины в этом положении
Поэтому при гармонических колебаниях доски с грузом с амплитудой растяжение пружины будет изменяться в пределах от
до
В данной системе возможны две причины нарушения гармоничности колебаний: провисание нити (при этом ускорение доски становится постоянным) и начало проскальзывания груза по доске (происходят потери механической энергии). Поэтому при гармонических колебаниях необходимо выполнение двух требований:
а) Нить, соединенная с пружиной, натянута. Для этого пружина должна быть растянута в течении всего периода колебаний, то есть
Как видно, это требование означает, что
б) Сила трения покоя, действующая на груз . При совместном движении груза и доски именно эта сила вместе с проекцией силы тяжести создает у груза ускорение, равное ускорению доски (нить прикреплена к доске!). Запишем уравнение движения груза в проекции на ось , направленную вверх вдоль поверхности доски:
Максимальная величина ускорения доски при гармонических колебаниях
Следовательно, максимальная необходимая величина силы трения
и проскальзывание груза не происходит, если
Как видно, вторе требование «жестче», и именно оно ограничивает амплитуду гармонических колебаний.
Ответ. , при превышении этого значения груз скользит по доске.