Робофест 2023, 11 класс, задача 1

Ответ на вопрос. При гармонических колебаниях доски с грузом груз не скользит по доске, а нить остается натянутой. Так что здесь происходят колебания массы на пружине с жесткостью . Период колебаний такого пружинного маятника

Решение задачи. Угол наклона поверхности клина к горизонту определяется соотношением

поэтому

и

Как видно, . Значит, в положении равновесия груз не скользит по доске, и сила упругости пружины уравновешивает проекцию суммарной силы тяжести доски и груза на поверхность клина, то есть

Растяжение пружины в этом положении

Поэтому при гармонических колебаниях доски с грузом с амплитудой растяжение пружины будет изменяться в пределах от

до

В данной системе возможны две причины нарушения гармоничности колебаний: провисание нити (при этом ускорение доски становится постоянным) и начало проскальзывания груза по доске (происходят потери механической энергии). Поэтому при гармонических колебаниях необходимо выполнение двух требований:

а) Нить, соединенная с пружиной, натянута. Для этого пружина должна быть растянута в течении всего периода колебаний, то есть

Как видно, это требование означает, что

б) Сила трения покоя, действующая на груз . При совместном движении груза и доски именно эта сила вместе с проекцией силы тяжести создает у груза ускорение, равное ускорению доски (нить прикреплена к доске!). Запишем уравнение движения груза в проекции на ось , направленную вверх вдоль поверхности доски:

Максимальная величина ускорения доски при гармонических колебаниях

Следовательно, максимальная необходимая величина силы трения

и проскальзывание груза не происходит, если

Как видно, вторе требование «жестче», и именно оно ограничивает амплитуду гармонических колебаний.

Ответ. , при превышении этого значения груз скользит по доске.