Шайбами по барабану
На гладкой горизонтальной поверхности лежит большой твёрдый цилиндрический барабан массой и радиусом . Две одинаковые маленькие, но тяжёлые шайбы массами скользят по поверхности с одинаковыми неизвестными скоростями вдоль одной прямой, пересекающей барабан. Расстояние между точками пересечения этой прямой с боковой поверхностью барабана равно . Шайба сталкивается с барабаном на мгновение раньше, чем с ним столкнулась бы шайба , если бы не было столкновения с шайбой . Если расстояние равно , то после всех соударений шайб с барабаном скорость последнего оказалась равной .
Считайте известным, что во всех случаях шайбы друг с другом не сталкиваются. Трения между шайбами и барабаном нет, барабан никогда не отрывается от поверхности, а все их столкновения являются упругими и настолько быстрыми, что барабан никогда не контактирует с обеими шайбами одновременно.
1. Определите величину скорости налетавших шайб.
2. Чему будет равна скорость барабана , если расстояние изменить до значения ?
Решение.
Определим скорость барабана после соударения с шайбой . Поскольку трения между шайбами и барабаном нет, все их удары центральные, движение всех тел остаётся поступательным, а проекции скоростей тел на ось, перпендикулярную линии центров, остаются постоянными в процессе соударения.
Введём вдоль линии центров ось , направленную от шайбы к центру барабана. Пусть — угол между вектором скорости шайбы и линией центров. Запишем систему из закона сохранения импульса в проекции на ось и закона сохранения энергии:
Решая записанную систему уравнений, находим:
Получим условие, при котором будет столкновение между шайбой и барабаном. Если ввести ось , направленную от шайбы к центру барабана, то условие столкновения можно записать как отрицательность проекции скорости барабана относительно шайбы на ось .
После преобразования это условие принимает вид:
или, с учётом геометрии рисунка,
При данное условие не выполнено, поэтому столкновения между барабаном и шайбой не будет. Значит, скорость барабана после всех соударений равна . Для получаем:
Таким образом,
При столкновение между барабаном и шайбой будет, при этом . В системе отсчёта, движущейся со скоростью , соударение сводится к рассмотренному ранее. В указанной системе отсчёта проекция скорости шайбы на ось равняется:
В этой системе отсчёта скорость барабана сразу после второго соударения равна:
Возвращаясь в исходную систему отсчёта и учитывая направление скоростей, для скорости получаем:
Отмечено, что проекции скоростей на ось, перпендикулярную линии центров, остаются постоянными.
Записан закон сохранения импульса для соударения шайбы с барабаном.
Записан закон сохранения энергии для соударения шайбы с барабаном.
Получено выражение для скорости барабана после первого соударения.
Записано или используется выражение для угла или его тригонометрической функции.
Найдена скорость налетавших шайб.
Для случая корректно учтены оба последовательных соударения.
Получена скорость барабана .