Холодильник
В тонкостенном цилиндрическом сосуде внутреннего радиуса под поршнем находится столб воды высотой при температуре . Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды , где известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором равна . Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лёд, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Более того, лёд не всплывает над поверхностью воды, а упирается в поршень, будучи полностью погружённым в воду, время от времени отрываясь от стенок сосуда. Удельная теплота плавления льда , плотность воды , плотность льда .
- Определите в какую сторону и с какой скоростью перемещается поршень.
- Найдите в течение какого промежутка времени продолжается такое движение.
- Установите зависимость температуры в холодильнике от времени в промежутке времени . Выразите её через .
- Найдите температуру в момент времени . Выразите через .
Ответ
1. Пусть — мощность тепловых потерь. Благодаря ему за малое время кристаллизуется льда:
В жидком состоянии эта масса занимала объём , а в твёрдом :
Следовательно, изменение объёма содержимого благодаря кристаллизации льда
То есть поршень поднялся вверх. Мощность тепловых потерь через боковую поверхность цилиндра пропорциональна площади этой поверхности и разности температур воды и окружающей среды:
Скорость подъёма поршня
Так как скорость постоянна, используем выражение для неё в начальный момент времени . Следовательно:
2. Равномерное движение поршня может продолжаться вплоть до кристаллизации всей воды. Максимальное изменение объёма системы
Искомая продолжительность процесса
3. Из условий и можно получить искомую зависимость
4. Подставим выражение для в закон изменения температуры и найдём её значение в конечный момент времени: