Кинематика поршня
Герметично закрытый с обоих концов теплоизолированный цилиндр расположен горизонтально. Внутри цилиндра находится непроводящий тепло легкий вертикальный поршень площадью , делящий цилиндр на два отсека. Поршень может перемещаться внутри цилиндра без трения. Отсеки заполнены идеальным одноатомным газом при давлении . В первый отсек помещён нагреватель, по которому может поступать тепло, во втором отсеке размещён теплообменник, с помощью которого тепло отводится из отсека. Модули мощностей подвода и отвода тепла равны и соответственно. Нагреватель и теплообменник приводят в действие одновременно.
В пунктах и считайте, что первоначальные объёмы отсеков равны.
1. Определите скорость перемещения поршня в начальный момент времени, сразу после включения нагревателя и теплообменника.
2. Определите скорость перемещения поршня в момент времени, когда поршень делит объём цилиндра в отношении , если модули мощностей и одинаковы и равны .
3. Пусть в начальный момент времени поршень делит объём цилиндра в отношении , а во втором (меньшем) отсеке вместо теплообменника установлен нагреватель мощности . Определите отношение , при котором поршень останется неподвижным.
Все процессы считать равновесными.
Ответ
1. По условию поршень легкий и перемещается в сосуде без трения. Следовательно, в любой момент времени давление газа по обе стороны от поршня одинаково. Для объёмов отсеков и справедливо равенство , где – начальный объём отсека. Рассмотрим процесс, происходящий с газом за малый промежуток времени , и запишем первое начало термодинамики для каждого отсека:
Запишем для каждого отсека уравнение Менделеева–Клапейрона и выразим изменение температуры:
Отсюда получим, что
Сложим и вычтем друг из друга записанные выше уравнения:
Тогда для начального момента получим . Отсюда, учитывая, что , найдём начальную скорость поршня :
2. Если , то задача упрощается, и из первого уравнения в находим, что . Из второго уравнения в получим . Это означает, что скорость движения поршня постоянна и равна .
3. Если отношение объёмов , то , . Поскольку поршень в этом пункте задачи неподвижен, объём обоих отсеков со временем не меняется. Перепишем уравнения , изменив знак у и учитывая, что в каждом отсеке происходит изохорный процесс :
Из полученных уравнений следует, что