Кинематика поршня
Герметично закрытый с обоих концов теплоизолированный цилиндр расположен горизонтально. Внутри цилиндра находится непроводящий тепло легкий вертикальный поршень площадью , делящий цилиндр на два отсека. Поршень может перемещаться внутри цилиндра без трения. Отсеки заполнены идеальным одноатомным газом при давлении . В первый отсек помещён нагреватель, по которому может поступать тепло, во втором отсеке размещён теплообменник, с помощью которого тепло отводится из отсека. Модули мощностей подвода и отвода тепла равны и соответственно. Нагреватель и теплообменник приводят в действие одновременно.
В пунктах и считайте, что первоначальные объёмы отсеков равны.
1. Определите скорость перемещения поршня в начальный момент времени, сразу после включения нагревателя и теплообменника.
2. Определите скорость перемещения поршня в момент времени, когда поршень делит объём цилиндра в отношении , если модули мощностей и одинаковы и равны .
3. Пусть в начальный момент времени поршень делит объём цилиндра в отношении , а во втором (меньшем) отсеке вместо теплообменника установлен нагреватель мощности . Определите отношение , при котором поршень останется неподвижным.
Все процессы считать равновесными.
1. По условию поршень легкий и перемещается в сосуде без трения. Следовательно, в любой момент времени давление газа по обе стороны от поршня одинаково. Для объёмов отсеков и справедливо равенство , где – начальный объём отсека. Рассмотрим процесс, происходящий с газом за малый промежуток времени , и запишем первое начало термодинамики для каждого отсека:
Запишем для каждого отсека уравнение Менделеева–Клапейрона и выразим изменение температуры:
Отсюда получим, что
Сложим и вычтем друг из друга записанные выше уравнения:
Тогда для начального момента получим . Отсюда, учитывая, что , найдём начальную скорость поршня :
2. Если , то задача упрощается, и из первого уравнения в находим, что . Из второго уравнения в получим . Это означает, что скорость движения поршня постоянна и равна .
3. Если отношение объёмов , то , . Поскольку поршень в этом пункте задачи неподвижен, объём обоих отсеков со временем не меняется. Перепишем уравнения , изменив знак у и учитывая, что в каждом отсеке происходит изохорный процесс :
Из полученных уравнений следует, что
Формула . Записано первое начало термодинамики для отсека с нагревателем.
Верное выражение для подведённой теплоты: .
Верное выражение для изменения внутренней энергии: или .
Верное выражение для работы газа: .
Записано верное соотношение между величинами из трёх предыдущих пунктов.
Записано первое начало термодинамики для отсека с теплообменником. Верное выражение для подведённой теплоты: .
Верное выражение для изменения внутренней энергии: или .
Верное выражение для работы газа: .
Записано верное соотношение между величинами из трёх предыдущих пунктов.
Записано уравнение состояния для газа в отсеке с нагревателем в дифференциальной форме.
Записано уравнение состояния для газа в отсеке с теплообменником в дифференциальной форме.
Найдена скорость изменения объёма одного из отсеков (знаки перед и могут быть перепутаны). Данный пункт оценивается только при правильно записанных выражениях в предыдущих пунктах и корректно сделанных преобразованиях.
Найден ответ на первый вопрос: (знаки перед и могут быть перепутаны). При правильно полученном выражении баллы за предыдущий пункт ставятся автоматически; если нет явного указания на значение числа степеней свободы , то балл за данный пункт не ставится.
В предыдущем пункте не перепутаны знаки перед и . Данный пункт оценивается только при правильно записанных выражениях в предыдущих пунктах и корректно сделанных преобразованиях.
Указано, что при давление газа постоянно.
Обосновано, что при давление газа постоянно.
Найден ответ на второй вопрос: . Данный пункт оценивается только, если за пункт 2.2 стоит ненулевой балл.
Записано условие неподвижности поршня (в первом начале термодинамики учтена изохорность процесса).
Получен ответ: ; за ответ в виде , или , или ставится 0,8 балла; если ответ не получен или неверный — 0 баллов.