Нелинейная картина
В сосуд кладут кусок льда массой и заливают порцией воды массой . На диаграмме показаны области с указанием конечного состояния содержимого сосуда в зависимости от температуры куска льда и температуры порции воды .
Известно, что в диапазоне удельная теплоёмкость льда зависит от его температуры по закону:
где , — температура льда в градусах Цельсия, а — некоторая постоянная величина. Удельная теплоёмкость воды , а удельная теплота плавления , где . Теплоёмкостью сосуда и тепловыми потерями пренебречь.
1. Определите и .
2. Качественно начертите аналогичную диаграмму конечного состояния содержимого сосуда в зависимости от температуры куска льда и температуры порции воды , но при равных массах льда и воды . Укажите на диаграмме характерные точки.
Автор задачи: Денис Рубцов.
Решение.
1. Первый способ.
Пунктирная линия на диаграмме, разделяющая состояния «лёд» и «смесь воды и льда», соответствует льду при температуре плавления . Выведем уравнение данной линии. Количество теплоты, которое вода отдаёт при остывании до и кристаллизации:
Средняя удельная теплоёмкость льда при нагревании от до равна
Тогда количество теплоты, необходимое для нагревания льда до равно
Так как тепловых потерь нет, . Используя обозначения и , получим искомую зависимость:
Подставив в уравнение точки и из диаграммы, в которых пунктирная линия хорошо попадает на узлы координатной сетки, получим
Второй способ.
Пунктирная линия на диаграмме, разделяющая состояния «лёд» и «смесь воды и льда», соответствует льду при температуре плавления . Найдём угловой коэффициент касательной, проведённой к этой пунктирной линии, в точке . Пусть кусок льда взят при температуре . Определим, на сколько градусов теплее необходимо взять воду, чтобы содержимым сосуда был лёд при . Дополнительное количество теплоты, необходимое для плавления льда равно . Это тепло берётся из-за более тёплой воды . Так как тепловых потерь нет, . Модуль углового коэффициента касательной
Этот же результат можно было получить дифференцированием по выражения , полученного в первом методе решения. Подставив в уравнение значения для модулей угловых коэффициентов касательных и , проведенных к точкам пунктирной линии и соответственно, получим
Реальная зависимость (табличные данные) удельной теплоёмкости льда от его температуры имеет такой вид (см. рисунок).
2. В диаграмме, данной в условии, масса льда была в раза больше массы воды, поэтому конечным состоянием содержимого сосуда не могла быть вода. В данном же пункте задачи, возможно, что конечным состоянием содержимого сосуда может быть и вода. Найдем уравнение линии, соответствующей воде при . Количество теплоты, которое вода отдаёт при остывании до :
Количество теплоты, необходимое для нагревания льда до и его плавления:
Из уравнения получим искомую зависимость:
Если свободный член в уравнении меньше температуры кипения воды , то на диаграмме будет область, соответствующая состоянию «вода». Это наш случай, так как . В градусах Цельсия уравнение примет вид
Найдём характерные точки, соответствующие данной зависимости. Одна из точек очевидна — . Вторую точку найдём как точку пересечения с прямой :
Решение этого квадратного уравнения даёт (второй корень не попадает в разрешённый диапазон ). Итак, вторая характерная точка — . Покажем, что на нашей диаграмме не будет состояния «лёд». Действительно, условие пересечения линии, соответствующей льду при , с осью абсцисс имеет вид
То есть точка пересечения такова, что . Таким образом, на рассматриваемой области пересечения нет, а значит и нет состояния чистого льда на диаграмме. Вид искомой диаграммы изображен на рисунке.
