Цилиндр и клапан
В торце теплоизолированного цилиндра с поршнем установлен клапан (рис. 2), перекрывающий небольшое отверстие, который открывается и начинает пропускать воздух снаружи в цилиндр при перепаде давлений ( — атмосферное давление). Воздух из цилиндра наружу клапан не пропускает. В начальный момент времени поршень прижат к торцу цилиндра, воздуха внутри нет.
В первом случае цилиндр заполняют воздухом до объема , медленно перемещая поршень, после чего останавливают, а затем освобождают поршень.
1. Определите температуру воздуха в цилиндре в момент остановки поршня при объеме , а также после освобождения поршня и прекращения его движения .
Во втором случае поршень резко перемещают в положение, при котором объем под поршнем равен , так что воздух не успевает проникнуть через клапан в цилиндр. В этом положении поршень фиксируют, дожидаются заполнения цилиндра воздухом, и так же, как в первом случае, освобождают поршень.
2. Определите и для этого случая температуру воздуха в цилиндре после остановки поршня и заполнения цилиндра воздухом, и температуру после освобождения поршня и прекращения его движения.
Считайте, что процесс заполнения цилиндра воздухом происходит квазистатически, клапан закрывается мгновенно после того, как разность давлений оказывается меньше пороговой. Снаружи цилиндра воздух при атмосферном давлении и температуре . Трением поршня о стенки, массой поршня, а также теплообменом воздуха с поршнем и стенками цилиндра можно пренебречь. Воздух можно считать двухатомным идеальным газом. После отпускания поршня клапан всё время остается закрытым.
Решение.
При заполнении цилиндра снаружи внутрь перемещается позиция воздуха объёма при атмосферном давлении и температуре (рис. 1.)
Внутри воздух находится при давлении . Закон сохранения энергии для этой порции учетом работы сил атмосферного давления и работы газа внутри цилиндра при перемещении поршня выглядит так:
Отсюда:
Из уравнения состояния можно определить температуру воздуха внутри цилиндра :
откуда . Итак, температура воздуха в цилиндре после заполнения равна .
После освобождения поршня он совершает колебания, которые затухают из-за вязкого трения в газе. Пусть после остановки поршня объём воздуха под ним равен . Работа внешнего давления над поршнем равна . Закон сохранения энергии:
Отсюда:
Из уравнения состояния
Отсюда:
Отличие от первого случая состоит в том, что воздуха в цилиндре в процессе перемещения поршня нет и работа газа над поршнем равна нулю. Закон сохранения энергии
откуда:
Здесь — объем порции газа, переходящий снаружи в цилиндр, при и . При использовании уравнения состояния получим
или:
После освобождения поршня аналогично первому случаю
Уравнение состояния дает:
откуда:
Найдена работа газа в цилиндре, совершаемая при перемещении поршня
Найдена работа внешней среды над газом при «вдавливании» газа через клапан
Записано первое начало термодинамики от момента начала подъема поршня до момента его остановки
Записано уравнение для равенства количества вещества, вошедшего и вышедшего через клапан. Количество вещества выражено через параметры состояния
Получена температура после остановки поршня ()
Записано первое начало термодинамики от момента после освобождения поршня до конечного равновесия
Температура после установления равновесия выражена через ()
Получена температура после установления равновесия ()
Отмечено в решении, что газ после прохода через клапан работы не совершает
Найдена работа внешней среды над газом при «вдавливании» газа через клапан или отмечено, что она такая же, как в первой части
Записано первое начало термодинамики от момента начала входа газа через клапан и до момента заполнения цилиндра
Записано уравнение для равенства количества вещества, вошедшего и вышедшего через клапан. Количество вещества выражено через параметры состояния
Получена температура после заполнения цилиндра ()
Записано первое начало термодинамики от момента после освобождения поршня до конечного равновесия
Температура после установления равновесия выражена через ()
Получена температура после установления равновесия ()