Неизвестная жидкость под поршнем
В атмосфере с давлением расположен вертикальный цилиндрический сосуд сечения и высоты (). Вдоль стенок сосуда может перемещаться без трения герметичный поршень. Стенки сосуда и поршень не проводят тепло. Изначально поршень покоится на небольших опорах, расположенных на высоте над дном сосуда.
Из-под поршня выкачивают весь воздух и помещают туда некоторое количество жидкости. После установления термодинамического равновесия температура содержимого сосуда оказалась равна . Затем включают нагреватель, и через дно сосуда содержимое под поршнем медленно нагревается. В процессе нагрева измеряют температуру и давление под поршнем. Когда низ поршня достигает отметки нагрев прекращают. График полученной зависимости от начала нагрева и до его окончания представлен на рисунке 6.
Удельная теплота парообразования жидкости при температуре равна . Молярная масса жидкости , универсальная газовая постоянная , ускорение свободного падения . Пар жидкости можно считать идеальным многоатомным газом. Объем жидкости много меньше .
Определите:
1. массу поршня;
2. массу содержимого под поршнем (суммарно во всех агрегатных состояниях);
3. количество теплоты , подведенной к сосуду начиная с момента отрыва поршня от опор и до момента окончания нагрева.
Ответ
Решение.
Из условия следует, что поршень оторвался от опор и поднялся на высоту . Если поршень не лежит на опорах, то на него действуют только три силы: сила тяжести, сила атмосферного давления и сила давления паров жидкости. Так как первые две силы постоянны, то и третья будет постоянной. На графике мы видим конечный участок нагрева, на котором давление паров постоянно, следовательно, на этом участке поршень не лежит на опорах.
Запишем условие его равновесия.
откуда:
По условию, изначально под поршнем была только жидкость, а затем установилось термодинамическое равновесие. Значит, возможны два варианта: либо под поршнем изначально находится только пар, либо смесь жидкости и ее насыщенного пара. Если бы к окончанию процесса нагрева жидкость испарилась не полностью, то при постоянном давлении содержимого (равном давлению насыщенного пара жидкости) была бы постоянна и его температура. Из графика видно, что температура содержимого на последнем этапе возрастала при постоянном давлении. Следовательно, к моменту достижения поршнем высоты вся жидкость испарилась.
Запишем уравнение состояния в момент достижения поршнем высоты :
откуда:
Из уравнения состояния найдём массу пара под поршнем в момент его отрыва от опор:
Заметим, что , это означает, что процесс подъема поршня можно разделить на два этапа. На первом этапе под поршнем при постоянной температуре находится насыщенный пар и жидкость продолжает испаряться. На втором этапе все содержимое цилиндра оказывается в газообразном состоянии и происходит изобарическое расширение с увеличением температуры. Первый этап представлен на графике одной точкой с координатами , а второй — горизонтальным отрезком.
Рассмотрим, на что тратится энергия на первом этапе. Жидкость испаряется, при этом часть энергии тратится на разрушение энергии связей между молекулами жидкости , а часть — на работу по расширению образовавшегося пара в окружающую среду . Величина зависит от температуры, при которой происходит фазовый переход. Покажем, что, если объемом вещества в жидком состоянии можно пренебречь по сравнению с объемом в газообразном состоянии, то величина так же определяется температурой и не зависит от внешнего давления. Действительно, в условиях приближения
где — количество испарившегося вещества. По определению удельная теплота парообразования включает в себя как затраты энергии на разрыв связей между молекулами, так и затраты энергии на совершение работы по расширению в атмосферу.
Теплоту , подведенную на первом этапе, можем выразить:
На втором этапе происходит изобарический нагрев пара от температуры до . Так как по условию пар можно считать многоатомным газом, то его молярная теплоемкость в данном процессе равна , и эта теплоемкость учитывает как изменение внутренней энергии газа, так и работы по расширению как против сил атмосферного давления, так и против силы тяжести поршня. Тогда тепло, подведенное на втором этапе, можно выразить:
Общее количество теплоты, подведенное в процессе подъема поршня: