Горячо–холодно
На рисунке приведён фрагмент графика зависимости от времени средней мощности , равной отношению суммарного количества теплоты, переданного слитку серебра массой , ко времени его теплообмена с внешними телами. Через некоторое время после начала теплообмена температура слитка в состоянии увеличилась до , а спустя ещё (в состоянии ) она вновь оказалась равна . Удельная теплоёмкость серебра .
-
Восстановите координатные оси графика и их масштаб, если известно, что начало оси времени нагрева совпадает с началом оси .
-
Найдите начальную температуру слитка серебра (при ).
-
Найдите температуры слитка, средние и мгновенные мощности теплообмена с внешними телами в состояниях, соответствующих точкам и .
Ответ
Первый способ
Для нагрева слитка серебра от начальной температуры до температуры необходимо сообщить ему суммарное количество теплоты:
С другой стороны, количество теплоты можно выразить через среднюю мощность и время теплообмена :
По условию задачи температуры в состояниях и равны, следовательно, суммарное количество теплоты, сообщённое слитку в моменты времени и , также одинаково. Это означает, что площади прямоугольников, соответствующих этим процессам на графике (см. рисунок 1), равны, так как они пропорциональны количеству теплоты. Таким образом, выполняется равенство:
Для восстановления оси времени необходимо обеспечить равенство площадей прямоугольников с одинарной штриховкой на графике.
Второй способ
По условию задачи температуры в состояниях и равны, следовательно, эти точки лежат на одной гиперболе. Если две вершины прямоугольника расположены на одной гиперболе, то прямая, проходящая через две другие вершины, должна пересекать начало координат. Это следует из подобия треугольников, образованных описанной прямой и осями координат (см. рисунок 2).
Зная, что , восстановим график зависимости.
Из графика известно, что и , тогда:
Из графика известно, что , , и . Тогда:
Получим выражение, позволяющее найти значение мгновенной мощности в произвольный момент времени. Для этого рассмотрим малый промежуток времени . За этот промежуток времени количество теплоты можно выразить через мгновенную мощность :
С другой стороны, можно выразить через изменение площади прямоугольника на графике зависимости :
Пренебрегая малыми величинами второго порядка , получаем:
Приравнивая выражения для , находим:
Разделив на , получаем выражение для мгновенной мощности:
где величина пропорциональна угловому коэффициенту касательной к графику . Аналогичное выражение можно получить, используя дифференцирование:
Построим касательные к графику в точках и и рассчитаем их угловые коэффициенты наклона:
Возможен другой способ решения. Зная , построим график зависимости для моментов времени , проведём гладкую кривую и построим касательные к графику в указанные моменты времени. Угловые коэффициенты касательных будут равны мгновенной мощности:
Тогда: