Цикл, как цикл
В архиве лорда Кельвина нашли записки о цикле, состоящем из четырёх последовательно совершаемых классическим идеальным многоатомным газом квазистатических процессов , , и . График цикла оказался утерян, но стало известно, что в процессах и на любом малом участке изменение внутренней энергии было точно равно работе газа, а в процессах и на любом малом участке изменение внутренней энергии было точно равно работе внешних сил над газом.
Температуры трёх точек цикла были заданы: , . В точке 4 давление и объём равны соответственно , .
-
Чему была равна температура газа в точке 2?
-
Восстановите график цикла в координатах от .
-
Определите КПД цикла.
Ответ
Первый метод
В процессах и подведённое к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы — адиабатические, их уравнение в координатах имеет вид
Получим уравнение процессов и . Пусть , — бесконечно малые изменения температуры и объёма, тогда изменение внутренней энергии
а работа газа , поэтому для процесса выполняется соотношение
Сократив общие множители и разделяя переменные, получим
откуда после интегрирования найдём уравнение процесса
Используя уравнение адиабаты для процесса , найдём объём газа в точке 1:
откуда с учётом значения температур получим . Аналогично с помощью уравнения процесса
получим . Запишем также уравнения для процессов и :
Разделив второе уравнение на первое и учтём равенство :
а значит . Тогда температура
Второй метод
Будем решать в терминах , . В процессах и подведённое к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы — адиабатические, в них сохраняется энтропия, поэтому
Найдём изменение энтропии в процессах и :
Получаем соотношение на температуры:
Уравнение адиабаты в координатах имеет вид , а значит в логарифмических координатах график процесса — прямая
Аналогично уравнения процессов и в координатах получаются из найденного в предыдущем пункте с помощью уравнения состояния ,
в логарифмических координатах также получим прямые
Таким образом достаточно вычислить координаты точек 1, 2, 3, 4. Объёмы уже найдены в предыдущем пункте. С помощью уравнения состояния получим
Тогда координаты граничных точек процессов в координатах (абсцисса) и (ордината) равны: , , , . График процесса имеет вид параллелограмма.
Первый метод
На адиабатах теплота не отводится и не подводится. Для оставшихся двух процессов подведённое тепло , причём поскольку , выполняется , где — теплоёмкость газа при постоянном объёме. Тогда на участке подводится тепло , а на участке отводится тепло , поэтому КПД
Второй метод
Найдём зависимость для процессов и :
Подставим в выражение для КПД: