Покори Воробьевы горы 2023, 11 класс, задача 4
Вопрос: Тонкая нить лампы длиной мм расположена на расстоянии см от экрана, параллельного нити. Найдите оптическую силу тонкой линзы, с помощью которой на этом экране можно получить четкое изображение нити длиной мм. Ответ запишите с учетом знака.
Задача: Небольшой источник света находится на главной оси системы из двух одинаковых тонких линз, расположенных на расстоянии см друг от друга. Система создает изображение предмета с поперечным увеличением (знак «-» указывает на то, что изображение перевернутое, увеличение прямых изображений будем считать положительным). Когда, не трогая источник и ближайшую к нему линзу, другую отодвинули так, что расстояние между линзами увеличилось до см, поперечное увеличение изображения стало равным . Каким станет поперечное увеличение, если еще сдвинуть дальнюю линзу, чтобы расстояние между линзами стало равным см? Какова оптическая сила каждой линзы?
Ответ
Ответ на вопрос: Поскольку изображение нужно получать на экране, то изображение должно быть действительным, а линза - собирающей. При этом изображение увеличенное, отношение расстояний от линзы до экрана и от нити до линзы равно
Их сумма равна см, то есть см и см. По формуле линзы
Решение задачи: В системе из двух линз изображение источника, сформированное первой, является источником для второй. Пусть - расстояние от источника до первой линзы, - одинаковая оптическая сила линз. Тогда расстояние от первой линзы до изображения источника в ней определяется из формулы линзы:
Поперечное увеличение этого изображения с учетом знака
Расстояние от этого изображения до второй линзы
Следовательно,
и
Таким образом, увеличение системы двух одинаковых тонких линз как функция расстояния между линзами при неизменном положении источника относительно первой линзы описывается выражением
Или
По двум заданным точкам находим коэффициенты этой зависимости:
Подставляя третье значение, получаем
Из связи коэффициентов с параметрами системы и находим, что и дптр.
Ответ: , дптр.