Ломоносов 2024, 10 класс, задача 5
Однородная алюминиевая деталь имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами, относящимися как . Одно из ее меньших ребер шарнирно прикреплено к плоскому дну достаточно большой кюветы. С помощью вертикальной нити, прикрепленной к другому ребру, деталь удерживается в равновесии так, что диагональное сечение детали остается горизонтальным (пунктирная прямая на рисунке). В кювету начинают медленно наливать масло. Определить отношение силы натяжения нити в момент, когда свободная поверхность масла достигла указанного пунктиром на рисунке уровня горизонтального сечения, и силы натяжения нити в сухой кювете. Считать плотность масла в три раза меньшей плотности алюминия, нить невесомой и нерастяжимой. Пренебречь объемом шарнира и трением в нем.
Решение.
На деталь, погруженную в масло, действуют силы: натяжения нити , тяжести (приложена к центру параллелепипеда ), сила реакции опоры , сила Архимеда (приложена к точке пересечения медиан треугольника ).
Так как - прямоугольник, а и - его диагонали, то
Применяя теорему Пифагора к , получаем
Из , используя теорему косинусов, найдем:
Согласно свойству медиан , тогда
Запишем уравнение моментов сил, действующих на деталь, относительно оси, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости чертежа:
Пусть - плотность масла, - объем детали, тогда
Выражая плечи сил через , получим:
Откуда
В отсутствии масла в кювете уравнение моментов примет вид:
где - сила натяжения в отсутствии масла в кювете. Тогда
Ответ. .
Участник приступил к решению задачи
Сделан верный поясняющий рисунок к задаче с указанием всех сил, действующих на параллелепипед
Верно определены плечи сил
Записано уравнение моментов в случае сухой кюветы
Записано уравнение моментов для случая кюветы с маслом
Получена искомая физическая величина
Получен правильный численный ответ