Ломоносов 2023, 10-11 класс, задача 1
Две лёгкие пружины одинаковой длины см закреплены на гладком горизонтальном стержне. Жёсткость первой пружины равна , а второй - . К концам пружин прикреплены небольшие грузы массами и . В положении равновесия грузы касаются друг друга. Сдвинув грузы вдоль стержня, пружины сжимают так, что их длина уменьшается в два раза (см. рисунок). После этого грузы отпускают. Через некоторое время грузы сталкиваются и слипаются друг с другом. Определить амплитуду колебаний образовавшегося тела, считая, что пружины деформированы упруго, а удар грузов друг о друга центральный.
Ответ
Решение.
Так как пружины деформированы упруго и стержень гладкий, то после отпускания грузы будут двигаться по закону гармоническому закону, при этом их можно считать материальными точками. Направим ось OX вдоль движения грузов, а начало координат выберем в положении равновесия (см. рисунок). Тогда законы движения грузов запишутся в следующем виде:
В момент столкновения координаты грузов их координаты равны . Откуда получим:
Используя известное тригонометрическое соотношение, представим это уравнение в виде:
Нам нужен наименьший положительный корень этого уравнения, следовательно:
Откуда найдём время, через которое произойдёт столкновение грузов:
Координата места столкновения при этом равна:
Проекции скоростей грузов на ось OX непосредственно перед столкновением равны:
По закону сохранения импульса, скорость слипшихся грузов сразу после соударения равна:
Таким образом, это положение является наибольшим отклонением получившегося тела от положения равновесия. Так как положение равновесия тела совпадает с началом координат (пружины в этом положении не деформированы), то . Окончательно получим:
Ответ. см.