Ломоносов 2023, 10-11 класс, задача 1
Две лёгкие пружины одинаковой длины см закреплены на гладком горизонтальном стержне. Жёсткость первой пружины равна , а второй - . К концам пружин прикреплены небольшие грузы массами и . В положении равновесия грузы касаются друг друга. Сдвинув грузы вдоль стержня, пружины сжимают так, что их длина уменьшается в два раза (см. рисунок). После этого грузы отпускают. Через некоторое время грузы сталкиваются и слипаются друг с другом. Определить амплитуду колебаний образовавшегося тела, считая, что пружины деформированы упруго, а удар грузов друг о друга центральный.
Решение.
Так как пружины деформированы упруго и стержень гладкий, то после отпускания грузы будут двигаться по закону гармоническому закону, при этом их можно считать материальными точками. Направим ось OX вдоль движения грузов, а начало координат выберем в положении равновесия (см. рисунок). Тогда законы движения грузов запишутся в следующем виде:
В момент столкновения координаты грузов их координаты равны . Откуда получим:
Используя известное тригонометрическое соотношение, представим это уравнение в виде:
Нам нужен наименьший положительный корень этого уравнения, следовательно:
Откуда найдём время, через которое произойдёт столкновение грузов:
Координата места столкновения при этом равна:
Проекции скоростей грузов на ось OX непосредственно перед столкновением равны:
По закону сохранения импульса, скорость слипшихся грузов сразу после соударения равна:
Таким образом, это положение является наибольшим отклонением получившегося тела от положения равновесия. Так как положение равновесия тела совпадает с началом координат (пружины в этом положении не деформированы), то . Окончательно получим:
Ответ. см.
Приступил к решению задачи
Записаны законы движения грузов
Найдено время, через которое грузы столкнутся
Доказано, что это положение является положением максимального отклонения от положения равновесия
Получено верное выражение для амплитуды колебаний
Получен верный численный ответ