И покой, и скольжение
Изучая силу трения в рамках школьного курса физики, обычно говорят о том, что максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения. На самом деле, для того, чтобы вывести тело из состояния покоя, необходимо приложить силу несколько большую силы трения скольжения. Поэтому имеет смысл говорить о двух коэффициентах: коэффициенте трения покоя и коэффициенте трения скольжения ( < ). Сила трения покоя удовлетворяет соотношению . После перехода к скольжению для определения силы трения используется другой коэффициент .
А) Для деревянного бруска массой , располагающегося на протяжённой деревянной горизонтальной поверхности, коэффициенты трения покоя и скольжения равны и соответственно. На брусок начинает действовать периодически изменяющаяся горизонтальная сила, проекция которой на горизонтальную ось на первой половине периода равна , а на второй половине периода меняет знак и становится равна . Изобразите графически зависимость скорости бруска от времени в течение двух периодов спустя большое время после начала процесса. Период изменения силы равен , ускорение свободного падения равно .
Б) Две доски одинаковой массы лежат друг на друге и на длинном горизонтальном деревянном столе (см. рисунок). Коэффициенты трения покоя и скольжения между всеми поверхностями равны и .
Б1) На верхнюю доску действует внешняя горизонтальная сила , прямо пропорциональная времени . Изобразите график зависимости ускорения верхней доски от времени для .
Б2) Пусть теперь внешняя горизонтальная сила действует на нижнюю доску. Изобразите график зависимости ускорения нижней доски от времени для . В обоих случаях доски изначально покоятся. В процессе движения одна доска не падает с другой.
Решение
А. Анализ показывает, что в каждый момент времени брусок двигается с ускорением, которое по абсолютной величине может быть равно или . Спустя длительное время после начала процесса установится квазистационарный режим, и проекция скорости бруска в зависимости от времени будет меняться периодически. В течение периода за время модуль скорости уменьшается от значения до нуля, а затем за время увеличивается от нуля до (см. рисунок, представленный ниже, ). Значение максимальной скорости в квазистационарном режиме равно . 
Можно дать доказательство того факта, что спустя длительное время после начала процесса установится квазистационарный режим. Действительно обозначим -- значение модуля скорости бруска спустя время после начала процесса. Справедливо рекуррентное соотношение . (4) при этом . Введём обозначение , где . Из формулы (4) следует соотношение , а из него формула для -го члена последовательности , которая является убывающей геометрической прогрессией. Легко видеть, что предел последовательности при равен нулю. Это означает, что при больших значение стремится к . Б.
Б1) Сразу заметим, что нижняя доска при любом значении внешней силы будет оставаться в покое, поскольку максимальное значение силы трения покоя, действующей на неё со стороны стола, равно , а максимальная сила, действующая на нижнюю доску со стороны верхней равна . Таким образом, при значении внешней силы меньше , ускорение верхней доски равно нулю, а при значении больше равно .
(5) Искомый график изображён на рисунке, представленном ниже.
Б2) В этом случае движение начнётся, когда внешняя сила станет больше значения , это произой- дёт в момент времени , далее верхняя доска будет двигаться совместно с нижней с ускорением, даваемым формулой , похожей на формулу (5). Позднее в некоторый момент времени начнётся проскальзывание верхней доски по нижней. Значение внешней силы в этот момент будет удовлетворять соотношению .
(6) Решив уравнение (6), находим критическое значение силы . Этого значения сила достигает в момент времени . Далее нижняя доска будет двигаться с ускорением большим ускорения верхней доски. Зависимость ускорения нижней доски от времени в этом случае будет задаваться формулой .
(7) Искомый график можно видеть на рисунке, представленном ниже.
Указывается, что ускорение бруска по абсолютной величине может быть равно или .
Указывается, что спустя длительное время после начала процесса скорость будет меняться периодически. Доказательство давать не обязательно.
Получен верный качественный эскиз графика или словами описан характер изменения скорости (или проекции скорости) бруска от времени.
Верно найдено значение максимальной скорости .
Верно найдены времена движения с разным ускорением и .
Построен верный график для модуля скорости (или для проекции скорости) с указанием координат особых точек.
Указывается, что график содержит два участка: участок с нулевым ускорением и участок с ускорением, изменяющимся линейно в зависимости от времени.
Изображён график, имеющий верную форму.
На графике указаны верные координаты точек излома.
Указывается, что график содержит три участка: участок с нулевым ускорением и два участка с разными линейными зависимостями ускорения от времени.
Изображён график, имеющий верную форму.
Найдены верные координаты точек, описывающих первый скачок на графике ускорения: момент времени , значение после скачка .
Найден верный момент времени второго скачка ускорения.
Найдено верное значение ускорения непосредственно перед вторым скачком .
Найдено верное значение ускорения сразу после второго скачка .
Найдено верное значение ускорения в момент времени : .