Росатом 2025, Отбор, 8 класс, задача 5
Два сообщающихся сосуда имеют форму цилиндров с площадью сечений и . В сосуды налита жидкость, поверхности которой закрыты невесомыми поршнями. Если некоторый груз положить на поршень в левом сосуде, то этот поршень опустится на величину (см. левый рисунок). На какую величину по сравнению с первоначальным положением опустится правый поршень, если груз снять с левого поршня и переложить на правый (см. правый рисунок)?
Решение.
Когда мы положим груз на поршень в левом колене сосуда, он опустится вниз, а поршень в правом колене - вверх. Условие равновесия груза на левом поршне имеет вид
где - масса груза, - плотность жидкости, - величина опускания левого поршня по сравнению с его положением при отсутствии груза, - величина подъёма поршня в правом колене. Поскольку уменьшение объёма жидкости в левом колене равно увеличению объёма жидкости в правом, и связаны очевидным соотношением
Подставляя величину из этой формулы в условие равновесия груза, найдем
Когда мы кладем тот же груз на поршень в правом колене, условие его равновесия имеем похожий вид
где - величина опускания правого поршня по сравнению с его положением при отсутствии груза, - величина подъёма поршня в левом колене. Связь этих величин дает
Аналогично находим, на сколько опустился правый поршень (по сравнению с начальным уровнем), если на него положить тот же груз (убрав его с левого поршня)
Сравнивая формулы (*) и (**), находим
Правильное условие равновесия груза на левом поршне
Правильная связь опускания левого и подъема правого поршня при размещении груза на левом поршне
Правильное условие равновесия груза на правом поршне
Правильная связь опускания правого и подъема левого поршня при размещении груза на правом поршне
Правильный ответ