Росатом 2025, 9 класс, задача 1
Очень много одинаковых кубиков с размером ребра расположили вдоль одной прямой на горизонтальной поверхности. Расстояние между ближайшими гранями соседних кубиков равно . Грани кубиков параллельны. Самый левый кубик начали двигать с постоянной скоростью в направлении остальных кубиков, вовлекая их в движение с той же скоростью (см. рисунок). Найти среднюю (за достаточно большое время) скорость возрастания длины цепочки из вовлеченных в движение кубиков. В каких пределах может меняться эта скорость в зависимости от времени, за которое она вычисляется? Считать, что время столкновения кубиков очень мало.
Решение.
Пусть с начала движения самого первого кубика прошло время . Поскольку время столкновений кубиков мало, то за это время в движение будет вовлечено столько кубиков сколько расстояний между кубиками пройдет первый кубик в цепочке. И хотя этот кубик все время разный, он имеет одну и ту же скорость . Поэтому за это время в движение будут вовлечены такое количество кубиков, что
Здесь символом обозначена целая часть числа. Длина цепочки вовлеченных в движение кубиков равна
Поскольку по условию время очень большое, то длина цепочки вовлеченных в движение кубиков приближенно равна
Поэтому средняя скорость возрастания длины цепочки вовлеченных в движение кубиков равна
Как видно из этой формулы, средняя скорость возрастания длины цепочки вовлеченных в движение кубиков не зависит от времени. Но отсутствие такой зависимости, конечно, приближенное, поскольку длина цепочки меняется дискретно, а время течет непрерывно. Поэтому длина цепочки лежит в интервале
что отвечает такому интервалу для средней скорости
Правильно использована формула «расстояние-время-скорость».
Правильно найдено число кубиков, вовлеченных в движение за время .
Правильно найдена длина этой цепочки.
Правильный ответ для средней скорости увеличения длины цепочки, вовлеченных в движение кубиков.
Правильно указан интервал значений средней скорости.