(7 баллов) На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD соответственно отмечены точки P, Q, R, S, отличные от вершин. Известно, что длина стороны квадрата равна 1, доказать, что выполнены неравенства: 2le PQ2+QR2+RS2+SP2<4.
(7 баллов) Найти все натуральные n, которые можно представить в виде суммы n=a2+b2, где a - минимальный делитель n, отличный от 1, и b - какой-то делитель n.
(7 баллов) Найти все действительные числа a, для которых существуют три различных действительных числа x, y, z таких, что a=x+frac1y=y+frac1z=z+frac1x.
(7 баллов) Доказать, что четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон произвольного вписанного четырёхугольника на его противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
(7 баллов) В некоторых клетках прямоугольной доски размера 101 на 99 сидят по одной черепашке. Каждую минуту каждая из них одновременно переползает в одну из клеток доски, соседнюю с той, в которой они находятся, по стороне. При этом, каждый следующий ход делается ими в направлении, перпендикулярном
