Задания Всесибирская олимпиада школьников — 11 класс — 2021/22
Оригинальные задания олимпиады «Всесибирская олимпиада школьников » для 11 класса за 2021/22 учебный год. В выбранном комплекте: 5 задач и 2 файла для подготовки.
(7 баллов) Пусть x, y — действительные числа такие, что оба числа x+dfrac1y, y+dfrac1x рациональны. Докажите, что тогда и число x2y2+(1/x2y2) тоже рационально.
(7 баллов) Последовательность действительных чисел an, n=1,2,3,ldots такова, что an+1=an+√(an+an+1),qquad n=1,2,3,ldots, и a1=1. Найдите явную формулу, выражающую число an через n.
(7 баллов) В какое максимальное число цветов нужно окрасить все клетки квадрата 4 × 4 так, чтобы для каждой пары различных цветов нашлись две клетки этих цветов, находящиеся либо в одной строке, либо в одном столбце квадрата?
(7 баллов) Обозначим за P основание высоты остроугольного треугольника ABC, опущенной из вершины B, а за M — точку, зеркально симметричную P относительно средней линии треугольника, параллельной его стороне BC. Доказать, что прямая BM проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.
