Задания Всесибирская олимпиада школьников — 11 класс — 2023/24
Оригинальные задания олимпиады «Всесибирская олимпиада школьников » для 11 класса за 2023/24 учебный год. В выбранном комплекте: 5 задач и 2 файла для подготовки.
(7 баллов) Четыре клетки на клетчатой бумаге называются квартетом, если их центры образуют прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. Какое максимальное количество квартетов можно разместить в квадрате 5 на 5? Никакие два разных квартета не могут содержать общих клеток.
(7 баллов) а) Найти все значения параметра a, при которых разрешима система уравнений x+y2+z2=a, x2+y+z2=a, x2+y2+z=a. б) Решить систему при каждом из этих a.
(7 баллов) Окружность с центром O на стороне AD параллелограмма ABCD проходит через его вершины A, B и C. Прямые AD, CD и BO снова пересекают окружность в точках K, M, N соответственно. Докажите, что длины отрезков NK, NM и ND равны между собой.
(7 баллов) В бесконечный в две стороны ряд выставлены коробки, в одной из которых лежит единственный камень, а остальные пусты. Ещё есть очень большая куча камней. За один ход можно переложить в кучу камень из любой коробки K, в которой он есть, и положить из кучи по камню в две коробки, соседние с
