Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «+», «-», «×» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения (4-3) × (2+5)+1. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нес Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский) Дано натуральное число n>1. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна n. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше n, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны. (А. Юран) Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность (an) строится следующим образом: a0=0, a1=1 и при n>1 число an — такое минимальное натуральное число, большее an-1, что среди чисел a 
