Дан остроугольный треугольник ABC. На его описанной окружности отмечена точка D, диаметрально противоположная вершине A. Точки X и Y на стороне BC таковы, что BX=XD и CY=YD (точка X лежит на отрезке BY). Докажите, что DA — биссектриса угла XDY. Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0 с целыми ненулевыми коэффициентами a, b и c, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на 1, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень? Имеется двести шариков ста цветов, по два шарика каждого цвета. Фокусник разложил их произвольным образом в сто коробочек, по два шарика в коробочку, где что лежит — игрок не знает. За ход игрок указывает на любые две коробочки, после чего фокусник незаметно для игрока выбирает по шарику из этих кор На стороне BC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что BD=DE=CE. На отрезках AB, AC, AE и AD выбраны точки L, K, P и Q (все точки A, B, C, D, E, K, L, P, Q различные) соответственно так, что angle EAD=angle PDE=angle QED=angle AKP=angle ALQ. Докажите, что LK+DEle AD+AE. Назовём набор из k последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном k количество плохих наборов из k после Дано натуральное nge2. Симметрический многочлен P(x1,ldots,xn) таков, что уравнение P(x1,ldots,xn)=0 имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного-единственного набора a1,ldots,an. Известн 
