(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a5 + b3, где a и b — натуральные числа? (15 баллов) Есть 4n отрезков длины x1, x2, ldots, x4n, где x1 = 1, x2 = 2, а при k > 2 выполнено xk = xk-1 + xk-2. Сколькими способами эти отрезки можно разбить на четвёрки так, чтобы из отрезков каждой четвёрки (20 баллов) Деревни некоторой языческой страны соединены дорогами так, что от любой деревни можно добраться до любой другой не проходя ни через какую деревню дважды, причём сделать это можно единственным способом. В каждой деревне живёт своё племя туземцев. Каждое племя поклоняется одному из трёх ид (20 баллов) Сфера касается всех рёбер пирамиды, в основании которой лежит выпуклый 2024-угольник. Покрасим в шахматном порядке углы между последовательными рёбрами при вершине вне многоугольника в синий и красный цвета. Докажите, что произведение синусов половинок синих углов равно произведению сину (15 баллов) В некотором числе 10 единиц, 100 двоек, 1000 троек, ldots, 109 девяток, расположенных в некотором порядке. Каждую секунду в нём стирают последнюю цифру. Правда ли, что в какой-то момент после начального получится число, делящееся на 9? (15 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD, в котором AB = BC = CD, диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Описанная окружность треугольника ADE пересекает сторону AB в точке P neq A и продолжение стороны CD в точке Q neq D. Докажите, что отрезки AP и DQ равны. 
