На стороне BC параллелограмма ABCD отмечены точки E и F, причем E лежит между B и F. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямые AE и DF касаются окружности, описанной около треугольника AOD. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника EOF. (А. Кузнецов) Найдите все наборы натуральных чисел x1,x2,ldots,x20 такие, что xi+22=НОК(xi+1,xi)+НОК(xi,xi-1) при i=1,2,ldots,20, где x0=x20, x21=x1, x22=x В стране N городов. Некоторые пары городов связаны двусторонними авиалиниями, каждая пара не более, чем одной. Каждая авиалиния принадлежит одной из k компаний. Оказалось, что из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками), но при закрытии всех авиалиний любой из компаний эт Дано натуральное число nge4 и 2n+4 карточки, пронумерованные числами 1,2,ldots,2n+4. На карточке с номером m написано вещественное число am, причем [am]=m. Докажите, что можно выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на первых двух карточках отличалась от суммы чисел на двух д Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди - сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница, и т. д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважд Дан многочлен P(x) степени n>1 с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение P(P(P(x)))=P(x) имеет ровно n3 различных вещественных корней. Докажите, что эти n3 корней можно разбить на две группы с равными средними арифметическими. (А. Кузнецов) Натуральные числа n>20 и k>1 таковы, что n делится на k2. Докажите, что найдутся натуральные числа a,b и c такие, что n=ab+bc+ca. (А. Храбров) В окружность ω вписан пятиугольник ABCDE. Прямая CD пересекает лучи AB и AE в точках X и Y соответственно. Отрезки EX и BY пересекаются в точке P и вторично пересекают окружность ω в точках Q и R. Точка A' симметрична точке A относительно прямой CD. Окружность γ, описанная около треугольника PQR, пе 
