Можно ли 2026 чисел 1+√2, 1+2√2, ldots, 1+2026√2 разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть? Последовательность натуральных чисел a1,a2,ldots удовлетворяет равенству a1+a2+ldots+a2n-1=an2 при всех натуральных n. Найдите все такие последовательности, в которых встречается число 3. Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O, а его высоты пересекаются в точке H. Касательные к окружности (BHC) в точке B, к окружности (AHB) в точке A и к окружности (CHA) в точке C ограничивают треугольник T1. Касательные к окружности (BHC) в точке C, Даны натуральные числа m и k, причём m>100 и 1 Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали? В стране ровно 1000 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними авиалиниями. Известно, что для любого натурального kle500 выполнено следующее утверждение: «Если выбрать любое множество A из k городов, то найдётся хотя бы k городов, не принадлежащих A, каждый из которых соединён авиалиние На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой. Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон a,b,c. Докажите, что хотя бы одно из чисел ab+1, bc+1 и ca+1 не является полным квадратом. 
