Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 3
( баллов) Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа п. Решите уравнение
п + 45(п) = 2025.
Если решений несколько, в ответе укажите наименышее из них.
Ответ: 1953
Решение. Пусть S(n) - сумма цифр натурального числа, п. Число 2007 кратно 3 и 9. Так
как 35(п) делится на 3, то п тоже должно делиться на 3. А значит, 35(n) делится на 9. В таком
случае п тоже должно делиться на 9. Докажем, что п — четырехзначное число. Пусть п. < 1000.
Тогда. S(n) < 3-9 = 27. Таким образом, п + 35(п) < 1000 + 3 - 27 = 1081 < 2007. Противоречие.
Число п. пятизначным тоже быть, очевидно, не может. То есть п — четырехзначное натуральное
число, п < 9999, S(n) < 36. Тогда S(n) равно 9, 18, 27 либо 36. n = 2007 — 35(п). Так что нужно
проверить варианты, когда п. равно 2007 — 108 = 1899, 2007 — 81 = 1926, 2007 — 54 = 1953
и 2007 — 27 = 1980, и выбрать из них наименышее подходящее. Если n = 1899, то S(n) = 27,
следовательно n+3S5(n) = 197143-27 = 2052 # 2007. Если n = 1926, то S(n) = 18, следовательно
n+3S5(n) = 1926 + 3-18 = 1980 # 2007. Если n = 1953, то S(n) = 18, следовательно n+ 35(п) =
1953 + 3. 18 = 2007.
Баллы за верный ответ на задание: 10.