ПВГ 2024, 11 класс, задача 6

Средняя

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2024, 11 класс

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет три различных корня, образующих арифметическую прогрессию. В ответе укажите сумму квадратов найденных значений , при необходимости округлив её до двух знаков после запятой.

Ответ

Ответ: .

Решение. Если – корни, образующие арифметическую прогрессию, то их сумма, с одной стороны, равна , а с другой стороны, по теореме Виета их сумма равна . Значит, корнем уравнения является . Подставляя его в уравнение, находим , откуда или . Непосредственной проверкой убеждаемся, что при каждом из этих уравнение имеет различных корня, образующих арифметическую прогрессию. Поэтому ответ: .

Похожие задачи

ПВГ 2024, 11 класс, задача 2

Решите уравнение operatorname{tg}(x+fracπ4)+operatorname{tg}(x-fracπ4)=operatorname{tg}x. В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку A, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой. A=[((1+3m)π/3);((8m+9)π/8)], m=-4.

Средняя

Уравнения

Тригонометрия

ПВГ 2025, 7–8 класс, задача 5

Прямая y=ax+a+8 (a>0) пересекает оси координат в точках A и B. Найдите наименьшую площадь треугольника ABO, где O – начало координат.

Средняя

Алгебра

Неравенства

ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 1

Решите неравенство (√(frac{x/γ) +(α+2))-(x/γ) -α}{x²+ax+b}ge0. В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру 0. α=3, γ=1, a=-15, b=54.

Средняя

Алгебра

Неравенства

Функции

ПВГ 2025, 9 класс, задача 2

Целой частью числа x (обозначение [x]) называют наибольшее целое, не превосходящее x. Например, [3.14]=3, [2024]=2024. Сколько решений имеет уравнение x²-[x²]=(x-[x])² на отрезке 1le xle10?

Средняя

Уравнения

Функции