Робофест 2026, 11 класс, задача 2
Вопрос. Ящики с грузом постоянной массы поднимают по наклонной плоскости с постоянной скоростью с помощью лебедки и легкого нерастяжимого троса. Двигатель лебедки подключен к аккумулятору, создающему постоянное напряжение, его статор — постоянный магнит, сопротивление цепи ротора можно считать постоянным. Известно, что сила натяжения троса, возникающая за счет работы лебедки, прямо пропорциональна силе тока, текущего в цепи ротора ее двигателя. Какой кривой является график зависимости полезной мощности лебедки от массы ящика с грузом? Ответ объяснить.
Задача. Напряжение, поддерживаемое аккумулятором, равно , сопротивление цепи обмотки ротора . При этом лебедка не может поднимать по плоскости груз массой более . При какой массе груза полезная мощность лебедки будет максимально возможной? Чему она равна? Пусть известно, что ящик с массой лебедка поднимает вдоль плоскости со скоростью . С какой скоростью она будет поднимать вдоль плоскости ящик с массой на больше, чем ?
Ответ
Ответ на вопрос. В установившемся режиме сила натяжения троса равна по величине тормозящей силе , и поэтому , где — скорость подъема груза. Кроме того, согласно условию, , где — некоторый постоянный коэффициент. Следовательно,
Ясно, что графиком этой функции является парабола.
Решение. Согласно полученной формуле, полезная мощность обращается в ноль при (холостой ход) и при . Второе значение и есть максимальная масса, выше которой лебедка не сможет поднимать ящик. Максимум параболы расположен точно посередине между этими значениями, то есть он достигается при . Кроме того, .
Подставив это значение в формулу для полезной мощности, находим, что
Кроме того, можно выразить . Тогда выражение для полезной мощности можно переписать в виде
Следовательно, скорость подъема этого груза
и при это выражение дает . Значит,
При получаем .
Ответ. Полезная мощность лебедки максимальна при и равна , при массе ящика установившаяся скорость .